補題
[a, b] と [c, d] を実数体 R における有限区間とし、
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ (a, b) のとき φ’(t) ＞ 0 であり、
a = φ(c)、b = φ(d) とする。

このとき、[a, b] = φ([c, d]) である。

証明
c ≦ s ＜ t ≦ d となる任意の s, t に対して
平均値の定理より (φ(t) - φ(s))/(t - s) = φ’(θ) となる
s ＜ θ ＜ t がある。
仮定より、φ’(θ) ＞ 0 であるから
φ(t) ＞ φ(s) である。
即ち φ は [c, d] において狭義単調増加である。
よって、c ＜ s ＜ d となる任意の s に対して、
a = φ(c) ＜ φ(s) ＜ φ(d) = b
よって、φ([c, d]) ⊂ [a, b] である。

他方、中間値の定理より、[a, b] ⊂ φ([c, d]) である。
証明終