過去スレ015の625に誤記があったので改めて述べる。

定理(正規型常微分方程式の解の存在と一意性および初期値に関する C^k 級性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
R を実数体とする。
Ω を R×E の開集合とする。
f: Ω → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を Ω の任意の点とする。

このとき (t_0, x_0) の開近傍 J×V ⊂ Ω
及び C^k 級写像 g: J×V → E で次の条件をみたすものが一意に存在する。
ここで、J は開区間であり、V はそれぞれ E の開集合である。

a) g(J×V) ⊂ Ω
b) 任意の x ∈ V に対して g(t_0, x) = x
c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の J における解である。

証明
f(t, x, μ) は (t_0, x_0) で連続であるから
t_0 を含む開区間 I と x_0 の凸開近傍 U があり、f は I×U 上で有界である。

さらに f は少なくとも C^1 級であるから
(d_2)f(t, x) は (t_0, x_0, μ_0) で連続である。
よって、初めから I×U を十分小さくとっておき、
(d_2)f(t, x) は I×U 上で有界と仮定してよい。
即ち C ＞ 0 があり I×U の各点 (t, x) で
|(d_2)f(t, x)| ≦ C

(続く)