>>37の修正

命題(過去スレ014の790参照)
>>35において T は一意に定まる。

証明
S: E → F を連続線型写像とし、
h → 0, h ≠ 0 のとき、lim |f(p + h) - f(p) - S(h)|/|h| = 0 とする。

p + h ∈ U, h ≠ 0 のとき、
|T(h) - S(h)|/|h|
≦ |T(h) - (f(p + h) - f(p)) + (f(p + h) - f(p)) - S(h) |/|h|
≦ |T(h) - (f(p + h) - f(p))|/|h| + |(f(p + h) - f(p)) - S(h)|/|h|

よって、h → 0, h ≠0 のとき、lim |T(h) - S(h)|/|h| = 0 である。

h ≠ 0 となる任意の h ∈ E をとる。
t ∈ K で、 t → 0 のとき |th| → 0

よって、t → 0, t ≠ 0 のとき lim |T(th) - S(th)|/|th| = 0

一方、|T(th) - S(th)|/|th| = |T(h) - S(h)|/|h|
よって、|T(h) - S(h)|/|h| = 0

よって、T(h) = S(h)
T(0) = S(0) であるから T = S
証明終