命題
K を実数体または複素数体とする。
[a, b) を実数体の有限区間とし、f, g : [a, b) → K を写像とする。

f と g が a で微分可能(>>322)なら
fg は a で微分可能であり、(fg)’(a) = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)

証明
h ＞ 0 かつ a + h ∈ [a, b) のとき、
α(h) = f(a + h) - f(a) - f’(a)h および
β(h) = g(a + h) - g(a) - g’(a)h とおく。

h → 0、h ≠ 0 のとき、
|α(h)|/h → 0
|β(h)|/h → 0
である。

f(a + h)g(a + h) = (f(a) + f’(a)h + α(h))(g(a) + g’(a)h + β(h))
= f(a)g(a) + (f’(a)g(a) + f(a)g’(a))h + g(a)α(h) + f(a)β(h) + α(h)β(h)

ここで、
|g(a)α(h) + f(a)β(h) + α(h)β(h)|/h
≦ |g(a)||α(h)|/h + |f(a)||β(h)|/h + |α(h)||β(h)|/h

h → 0、h ≠ 0 のとき、この右辺 → 0

よって、(fg)’(a) = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)
証明終