命題
K を実数体または複素数体とする。
F と G を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U ⊂ F を開集合とし、g: U → G を C^1 級写像とする。
[a, b] を実数体における有限区間とし、f: [a, b] → U を C^1 級写像(>>325)とする。

このとき gf: [a, b] → G も C^1 級である。

証明
合成写像の微分(>>58)より、
t ∈ (a, b) のとき、d(gf)(t) = dg(f(t))df(t) となる。
よって、
d(gf)(t)(1) = dg(f(t))(df(t)(1))
即ち、(gf)’(t) = dg(f(t))(f’(t))

t = a または b のときも、>>365と>>368 より、
(gf)’(t) = dg(f(t))(f’(t)) である。

f は C^1 級であるから f’(t) は [a, b] で連続である。
g は C^1 級であるから dg は U で連続である。
よって、(gf)’(t) は [a, b] で連続である。
よって、gf は C^1 級である。
証明終