補題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とし、f: [a, b] → F を連続写像とする。

(Δ, (ξ_i)) を Ω (>>347) の元としたとき、
m(Δ) = sup{t_i - t_(i-1); i = 1, . . ., n}
S(Δ, (ξ_i)) = Σf(ξ_i)(t_i - t_(i-1)) とおく(>>345)。

任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
m(Δ_1) ＜ δ、m(Δ_2) ＜ δ となる、
任意の (Δ_1, (ξ_i)), (Δ_2, (η_j)) ∈ Ω に対して
|S(Δ_1, (ξ_i)) - S(Δ_2, (η_j))| ＜ ε となる。

証明
[a, b] はコンパクトだから f は一様連続である。
よって、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
t, s ∈ [a, b] かつ |t - s| ＜ δ なら |f(t) - f(s)| ＜ ε/(2(b - a)) となる。

Δ_1: a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b
Δ_2: a = s_0 ＜ s_1 ＜ . . . ＜ s_m = b
とする。
Δ_1 と Δ_2 の各点を合併したものから重複する点を除いたものを Δ とする。
Δ_1 ≦ Δ、Δ_2 ≦ Δ である。
Δ: a = w_0 ＜ w_1 ＜ . . . ＜ w_l = b
とする。
Δ に属す任意の列 (ζ_k) をとる。

(続く)