命題(過去スレ014の821の修正)
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とし、f: [a, b] → F を C^1 級(>>325)の写像とする。

このとき、
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(x) dx

証明
t ∈ [a, b] のとき、
g(t) = ∫[a, t] f’(x) dx - f(t) とおく。

>>335より、任意の t ∈ [a, b] に対して、g’(t) = 0 である。
よって、過去スレ014の820より、g(t) は [a, b] 上で定数である。
特に、g(b) = g(a) である。
即ち、
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(x) dx
証明終