命題(微積分の基本定理(過去スレ014の819の拡張))
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とし、f: [a, b] → F を連続写像とする。

t ∈ [a, b] のとき g(t) = ∫[a, t] f(x) dx とおく。

ここで、dx は R のLebesgue測度(過去スレ009の710)であり、
∫[a, t] f(x) dx は過去スレ008の356で定義されたものである。

このとき、任意の t ∈ [a, b] に対して、g’(t) = f(t) である。
ここで、g’(a) と g’(b) については>>322を参照。

証明
t ∈ (a, b) のとき
|g(t + h) - g(t) - f(t)h| = |∫[t, t + h] (f(x) - f(t))dx|
≦ M(h)|h|

ここで、M(h) = sup {|f(x) - f(t)| ; x ∈ [t, t + h]}

h → 0 のとき、M(h) → 0 であるから、
g’(t) = f(t) である。

(続く)