命題
K を非アルキメデス的完備体(>>26)とする。
E を K 上の必ずしも非アルキメデス的(>>27)とは限らない有限次ノルム空間とする。
n = dim E とし、K^n を>>31のK-Banach空間とする。

このとき、E は K^n と位相線型空間として同型である。
よって E は完備であり、E のノルムは非アルキメデス的ノルムと
同値(過去スレ006の570)である。

証明
e_1, . . . , e_n を E の K 上の任意の基底とする。
過去スレ006の651より、
写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n に直積位相を与えたとき、
K^n から E への位相同型である。

K^n の直積位相は>>31のノルムにより与えられるから、
この同型は位相線型空間としての同型である。
証明