補題
R を実数体とし、R++ = {x ∈ R; x ＞ 0} とおく。
(a_n), n = 1, 2, ... を R++ の元からなる数列とする。

lim a_(n+1)/a_n = r が存在し r ＜ 1 であれば Σa_n は収束する。

証明
r ＜ s ＜ 1 となる s をとる。
整数 m ≧ 1 があり n ≧ m なら a_(n+1)/a_n ＜ s となる。
a_(m+1) ＜ sa_m
a_(m+2) ＜ (s^2)a_m
. . .

よって、a_(m+n) ＜ (s^n)a_m, n = 1, 2, ...
よって、Σa_(m+n) ≦ a_mΣs^n ＜ +∞
よって、Σa_n ＜ +∞
証明終