命題
K を必ずしも可換とは限らない体で自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)を
もつとする。
E を K 上の超ノルム空間(>>65)とする。
(x_n), n = 1, 2, ... を E の点列とする。

Σx_n が収束すれば、Σx_n は総和可能(過去スレ006の147)である。

証明
s_n = s_1 + . . . + s_n とおき、
s = Σx_n とおく。
Σx_n の定義より、s = lim s_n である。
即ち、任意の ε に対して、ある n_0 ≧ 1 があり、
n ≧ n_0 であれば |s - s_n| ＜ ε となる。
このとき、
|x_(n+1)| = |s_(n+1) - s_n| = |s_(n+1) - s + s - s_n|
≦ sup{|s_(n+1) - s|, |s - s_n|} ＜ ε

N = {1, 2, . . . } を自然数の全体とする。
{1, 2, . . . , n_0} を含む任意の有限集合 I ⊂ N に対して、
S(I) = Σx_i, i ∈ I とおく。

|S(I) - s_(n_0)| ≦ sup{|x_i|; i ∈ I - {1, 2, . . . , n_0}} ＜ ε

|s - S(I)| = |s - s_(n_0) + s_(n_0) - S(I)|
≦ sup{|s - s_(n_0)|, |S(I) - s_(n_0)|} ＜ ε

よって、Σx_n は総和可能(過去スレ006の25)である。
証明終