命題
K を必ずしも可換とは限らない体で自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)を
もつとする。
E を K 上の超ノルム空間(>>65)とする。
(x_n), n = 1, 2, ... を E の点列とする。

(x_n) がCauchy列であるためには lim |x_(n+1) - x_n| = 0 が必要十分である。

証明
必要性：
(x_n) がCauchy列であるとする。
任意の ε に対して、ある n_0 ≧ 1 があり、n, m ≧ n_0 であれば、
|x_n - x_m| ＜ ε となる。
よって特に、|x_(n+1) - x_n| ＜ ε となる。
即ち、lim |x_(n+1) - x_n| = 0 である。

十分性：
lim |x_(n+1) - x_n| = 0 とする。
任意の ε に対して、ある n_0 ≧ 1 があり、n ≧ n_0 であれば、
|x_(n+1) - x_n| ＜ ε となる。

よって、m ＞ n ≧ n_0 であれば、
|x_m - x_n| = |(x_m - x_(m-1)) + (x_(m-1) - x_(m-2)) + . . . + (x(n+1) - x_n)|
≦ sup{|x_m - x_(m-1)|, ..., |x(n+1) - x_n|} ＜ ε

よって、(x_n) はCauchy列である。
証明終