命題(非アルキメデス版Hahn-Banachの定理(>>247)の系(過去スレ009の561参照))
K を必ずしも可換とは限らない体で
自明でない非アルキメデス的絶対値(過去スレ006の448)をもつとする。
K は球完備(>>170)とする。
E を K 上の左線型空間ととする。
x_0 を E の点とし、 p を E 上の超半ノルム(>>244)とする。

このとき E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。

証明
M = { λx_0 | λ ∈ K }を x_0 で生成される E の部分線形空間とする。
g(λx_0) = λp(x_0) により M 上の線形形式 g を定義する。
x = λx_0, λ ∈ K としたとき |g(x)| = |λ|p(x_0) = p(x)
非アルキメデス版Hahn-Banachの定理(>>247)より E 上の線形形式 f で g の拡張であり
任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) となるものがある。
f は g の拡張だから f(x_0) = g(x_0) = p(x_0) である。
証明終