補題
K を必ずしも可換とは限らない体で自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)を
もつとする。
E を K 上の超ノルム空間(>>65)で球完備(>>173)であるとする。
I を任意の集合とし、
(B_i), i ∈ I を E における閉球の族で任意の i, j ∈ I に対して B_i ∩ B_j ≠ φ とする。

このとき、∩B_i ≠ φ である。

証明
α = inf{d(B_i); i ∈ I} とおく。
α に収束する単調減少列 d(B_(i_1)) ≧ d(B_(i_2)) ≧ . . . がある。

α = d(B_k) となる k ∈ I があるとする。
任意の i ∈ I に対して d(B_k) ⊂ d(B_i) であるから、>>242より、B_k ⊂ B_i である。
よって、B_k ⊂ ∩B_i であるあるから ∩B_i ≠ φ である。

よって、任意の i ∈ I に対して α ＜ d(B_i) と仮定してよい。
よって、任意の i ∈ I に対して d(B_i) ≧ d(B_(i_n)) となる n がある。
>>242より、B_i ⊃ B_(i_n) である。
よって、∩B_i = ∩{B_(i_n); n = 1, 2, ... となる。
E は球完備だから ∩B_i ≠ φ である。
証明終