命題
K を可換な非アルキメデス的局所体(過去スレ013の363)とする。
R を K の最大コンパクト部分環(過去スレ013の366)とし、
P をその唯一の極大イデアル(過去スレ013の364)とする。
R/P の元の個数を q とし、p を R/P の標数とする。
R の可逆全体を R^* と書く。R^* = R - P である。

このとき、K^* の位数 q - 1 の群 Γ がただ一つ存在する。
Γ は (R/P)^* の完全代表系である。

さらに、
Γ = {x ∈ K; x^n = 1 となる整数 n ≧ 1 で p と素なものがある}
である。

証明
過去スレ013の447より、x ∈ R^* のとき
(x^(q^n)), n = 1, 2, ... は Cauchy 列である。
γ(x) = lim x^(q^n) とおく。

過去スレ013の450より、γ は R^* から R^* への群の準同型であり、
γ^(-1)(1) = 1 + P である。
よって、Γ = γ(R^*) とおくと、Γ は R^*/(1 + P) と同型である。

π: R → R/P を標準射とする。
π は R^* から (R/P)^* への全射準同型 φ を誘導する。
φ の核は 1 + P である。
よって、R^*/(1 + P) は (R/P)^* と同型である。
よって、R^*/(1 + P) の位数は q - 1 である。
よって、Γ の位数も q - 1 である。
よって、Γ は K における 1 の (q - 1)乗根全体である。

(続く)