命題
K を必ずしも可換とは限らない体で
自明でない非アルキメデス的絶対値(過去スレ006の448)をもつとする。
E を K 上の超ノルム空間(>>65)とする。

E が球完備(>>173)であれば完備である。

証明
(x_n), n = 1, 2, ... を E におけるCauchy列とする。
(x_n) が収束することを証明すればよい。
(x_n) は、ある番号から先すべて一致することはないと仮定してよい。

よって、ε_n = sup{|x_(m+1) - x_m|; m ≧ n} とおけば、ε_n ＞ 0 である。
よって、閉球 B(x_n, ε_n) が定義できる。

明らかに、ε_n ≧ ε_(n+1) である。
(x_n), n = 1, 2, ... はCauchy列であるから lim ε_n = 0 である。

x_(n+1) ∈ B(x_n, ε_n) だから>>131より、B(x_n, ε_n) = B(x_(n+1), ε_n)

よって、B(x_n, ε_n) ⊃ B(x_(n+1), ε_(n+1))

よって、x ∈ ∩B(x_n, ε_n)

よって、各 n に対して、|x - x_n| ≦ ε_n

lim ε_n = 0 だから、lim x_n = x である。
証明終