命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を E の開集合とし、p ∈ U とする。
V を F の開集合とする。

f: U → V
g: V → G
を写像とし、f が p で強微分可能(>>43)かつ g が f(p) で強微分可能とする。

このとき、gf は p で強微分可能である。

証明
任意の実数 ε ＞ 0 に対して p の開近傍 V_ε ⊂ U が存在し、
任意の x, y ∈ V_εに対して
|f(x) - f(y) - df(p)(x - y)| ≦ ε|x - y|

よって、任意の x, y ∈ V_εに対して
|f(x) - f(y)| ≦ M|x - y|
ここで、M = (ε + |df(p)|) である(>>150の証明参照)。

f(p) の開近傍 W_ε ⊂ V が存在し、
任意の z, w ∈ W_εに対して
|g(z) - g(w) - g(f(p))(z - w)| ≦ ε|z - w|

f は p で連続であるから f(V_ε) ⊂ W_ε と仮定してよい。

(続く)