例(C^1級だが強微分可能でない関数)

p を素数とする。
Q_p を p進体(過去スレ012の550)とし、Z_p をp進整数環(過去スレ012の560)とする。
各整数 n ≧ 1 に対して、
W_n = {x ∈ Z_p; |x - p^n| ＜ |p^(2n)|} とおく。
即ち、W_n = {x ∈ Z_p; x ≡ p^n mod p^(2n)} である。

各整数 n ≧ 1 に対して
S_n = {x ∈ Z_p; |x| = |p^n|} とおく。

即ち、S_n = (p^n)(Z_p)^* である。
ここで、(Z_p)^* = Z_p - pZ_p は Z_p の乗法に関する可逆元全体である。

x ∈ W_n なら、|x - p^n| ＜ |p^(2n)| ＜ |p^n|
よって、>>127より、|x| = |x - p^n + p^n| = |p^n|
よって、W_n ⊂ S_n である。

n ≠ m なら S_n ∩ S_m = φ である。

ここで、各整数 n ≧ 1 に対して
B_n = {x ∈ Z_p; |x - p^n| ≦ |p^n|}
U_n = {x ∈ Z_p; |x - p^n| ＜ |p^n|}
とおく。

S_n = B_n - U_n である。
B_n と U_n は開かつ閉であるから S_n も開かつ閉である。

便宜上 S_0 = (Z_p)^* とおく。
Z_p - {0} = ∪S_n, n = 0, 1, 2, ... は Z_p - {0} の直和分割である。

(続く)