i,j,kが回転であると解釈したらそれは当たり前ですよね？
回転は行列ですよね？　SO(3)は知ってますか？

たんに代数系と考えて何かが証明できるなら、まず代数系を定義しないと
何の上で何が導かれるのか分からないですけど？ i,j,k,ってなんですか？