>>583
その不等号は ⊇　だろうけど
I_n ⊇ I_{n+1} ⇔ a_n ≦ a_{n+1} ≦ b_{n+1} ≦ b_n
なので
I_1⊇ I_2 ⊇ I_3 ⊇ … ⊇ I_n ⊇ I_{n+1} ⊇ …
a_1 ≦ a_2 ≦ … ≦ a_n ≦a_{n+1} ≦ … ≦ b_{n+1} ≦ b_n ≦ … ≦ b_2 ≦ b_1
で、
数列{a_k} は単調増加列かつ上に有界
数列{b_k} は単調減少列かつ下に有界
したがってどちらも収束する。
{a_k} の極限を α
{b_k} の極限を β
とすると 任意の nについて
a_n ≦ α ≦ β ≦b_n
|β-α| ≦ |b_n - a_n| → 0 (n→∞)
なので α = β
[α,β]に含まれるのは a = α = βのみ。