>>426
xが有理数のとき f(x) が有理数
xが無理数のとき f(x) が無理数

を満たす連続関数は、f(x)＝ax＋b、f(x)＝(px＋q)/(rx＋s) および
これらを繋ぎあわせたもの以外にあるかと言う事だよね？

さてどうだろうか。ないとしたら証明方法が思いつかない。