★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十八問
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0001１３２人目の素数さん
2009/10/24(土) 22:44:51解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/
0002１３２人目の素数さん
2009/10/24(土) 22:57:050003１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 06:56:10Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。
0004１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 06:57:34円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.
0005１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 07:10:00整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
0006１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 07:13:21この漸化式難しくない？
0007１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 19:33:081つの平面上には存在しない。
(理由)
点Aと円錐の頂点Oをとおる直線（母線）で切った展開図を考える。
これは点Oを中心とする扇形OA'A" となる。
α ⇒ 線分A'A",
∠OA'A" + ∠OA"A' = 180ﾟ - ∠A'OA" < 180ﾟ,
∴ 点Aにおけるαの2本の接線は、一直線上には存在しない。
∴ αは1つの平面上には存在しない。
（∵ 2つの平面の交線は1本の直線)
0008１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 20:27:46与えられたグラフ用紙に描け。
尚、e=2.71...、\pi=3.14...とする。
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/49160
(パスキー: todai)
0009１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 20:47:513枚のコインがある。 この3枚のコインを机の上に並べ次の操作を繰り返し行う
『操作』：サイコロを振り、出た目が1,2なら左端のコイン、3,4なら真ん中のコイン、5,6なら右端のコイン
を裏返す。
この時、3枚が「表表表」である状況から初めて、ｎ回の操作の結果「表表表」又は
「表裏表」となる確率を求めよ。
0010１３２人目の素数さん
2009/10/25(日) 20:54:400011１３２人目の素数さん
2009/10/27(火) 04:56:56x^3+ax^2+bx+cの解をα、β、γとする。
a、b、c及び複素数の定数から
四則演算と平方根を有限回用いて得られる式 f(a,b,c) で
任意の複素数a,b,cに対して f(a,b,c) はα、β、γのいずれかと等しい
を満たすような式 f(a,b,c) は存在しないことを示せ。
0012１３２人目の素数さん
2009/10/27(火) 08:59:47なんでそれを東大作問者スレに書き込むんだ。
他にスレがいくらでもあるだろうに。
もうちょっと東大っぽくアレンジしたら？
0013１３２人目の素数さん
2009/10/27(火) 15:26:23各大学が本試験のおおむね１週間後に追試験を実施するなどの救済措置をとる方針を決めた。
２０１０年度だけの特例措置で、基本的に新型インフルエンザ患者と疑われる人が対象。
本試験の１週間前から当日までに診断書や追試験受験申請書を提出させるなどして認定する。
ただ、方針に拘束力はなく、追試験を実施するかを含め、具体的な日程や方法は、各大学の判断にゆだねる。
0014１３２人目の素数さん
2009/10/27(火) 22:56:19★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1182629190/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
0015１３２人目の素数さん
2009/10/27(火) 22:58:12★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190854032/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194120000/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問(前スレ)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/
0016１３２人目の素数さん
2009/10/30(金) 00:38:441<n<mならば、a^m+b^m=c^n をみたす(a,b,c)は無数に存在するか？
0017１３２人目の素数さん
2009/10/30(金) 00:39:350018１３２人目の素数さん
2009/10/30(金) 23:42:29∫[0,1]f(x)dx＝∫[0,1]x・f(x)dx＝∫[0,1]x^2･f(x)dx＝0
が成り立つとき，f(x)＝0 は区間 [0,1] ですくなくとも3個の相異なる実数解をもつ事を示せ．
ちょっと難し過ぎたか？
0019１３２人目の素数さん
2009/10/31(土) 16:47:02中国の方ですか？
0020１３２人目の素数さん
2009/11/01(日) 23:56:35LCD(m,n)=1 ならば、 qn-pm=1 なる自然数(p,q) について
(2^p)^m + (2^p)^m = (2^q)^n,
また (p,q) は無数に存在する。
0021１３２人目の素数さん
2009/11/02(月) 18:22:290022１３２人目の素数さん
2009/11/02(月) 21:59:44LCD(m,n) =L ≧ 3 ならば、
a^(m/L) =A, b^(m/L) =B, c^(n/L) =C とおくと、
A^L + B^L = C^L, L≧3,
となり、フェルマーの大定理に反する。
よって存在しない。
LCD(m,n) =2 の場合を考えればよい。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1202124936/10-11
casphy - highmath - 東大数学について
0024１３２人目の素数さん
2009/11/03(火) 22:29:460025１３２人目の素数さん
2009/11/03(火) 22:35:26知らねえし
0026１３２人目の素数さん
2009/11/03(火) 22:42:37GCDですた。 ｽﾏｿ.
0027１３２人目の素数さん
2009/11/04(水) 21:24:55発光ダイオード
0028１３２人目の素数さん
2009/11/04(水) 22:39:45と言ってほしかった....
>>27
LED
0029１３２人目の素数さん
2009/11/05(木) 15:49:08麻薬
0030１３２人目の素数さん
2009/11/05(木) 21:24:38LSD（Lysergsäure Diäthylamid）
0031１３２人目の素数さん
2009/11/06(金) 17:42:18a^m+b^m=c^n
をみたす自然数の組(a,b,c)は無数に存在するか？
0032１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 00:12:55が自然数となるような自然数nをすべて求めよ.
0033１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 01:11:53m=n=2も許しちゃうの？
0034１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 12:13:18明らかに、n=1の時与式は自然数。
2^n+3^nは明らかに2でも3でも割り切れない為、nは「2の倍数及び3の倍数」とならない。
nが2及び3と互いに素である時、フェルマーの小定理より
2^n+3^n=2+3(mod n)
よって満たす数は1及び5>>32
0035１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 12:43:34＞2^n+3^n=2+3(mod n)
ダウト
フェルマの小定理が成立するのはnが素数でなければならない。
実際2^n≡2(mod n)はnが奇数といえども必ずしも成立しない、
例えばn=9のとき
2^9=512≡8 (mod 9)
0037１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 19:58:11これの面積が最大となるのは、どのようなときか.
0038１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 20:16:09簡単すぎて拍子抜けしたんだが、どこか間違ってるかな。
a=1+2cosθと置くとその最大面積Sは
S=sinθcosθ+sinθ
と書ける。θで微分して最大値を求めるとθ=1/2の時最大。よって
a=1+√3の時に最大面積を取る。
0039１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 20:16:45〔補題〕
n>0 は奇の自然数で
5^e | (2^n + 3^n),
ならば
5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),
(略証)
(x^5 + y^5)/(x+y) = (x^2)^2 -(x^2)xy + (xy)^2 -xy(y^2) +(y^2)^2,
2･2 ≡ 3･3 ≡ -1 (mod 5)
2･3 ≡ 1 (mod 5)
より
{2^(5n) + 3^(5n)}/(2^n + 3^n) = 2^(4n) - 2^(2n)･6^n + 6^(2n) -6^n･3^(2n) + 3^(4n)
≡ 1 - (-1)^n + 1 - (-1)^n + 1
= 5
≡ 0 (mod 5)
〔系〕
nが5の冪乗のとき
5 | (2^n + 3^n) /n,
0040１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 20:17:390043１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 20:44:55〔補題〕
n>0 が奇の自然数ならば
5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),
〔系〕
nが5の冪乗のとき
5 | (2^n + 3^n) /n,
0044１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 20:56:34一辺の長さがa（aは定数：0<a<3)で、残りの３辺の長さが１の四角形がある.
この四角形の形を、４辺の長さを変えずに変化させるとき、この四角形の面積が最大になるような形はどのようなものか.
0045１３２人目の素数さん
2009/11/07(土) 23:02:08http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html
0046１３２人目の素数さん
2009/11/08(日) 00:31:15は誰か解けないかい？
0047１３２人目の素数さん
2009/11/08(日) 00:42:32ちょっとおかしいぞ nは2^n+3^nを割り切るようなｎとし、
2^n+3^n = abn (a,b は自然数)とすると、
an は 2^{an}+3^{an} を割り切る 実際 2^5+3^5 = 275 = 5^{2}*11
で 2^{55}+3^{55}は55で割り切れる
>>32の自然数をすべて求めるのは不可能だと思うけど？
0048１３２人目の素数さん
2009/11/08(日) 01:27:17[0,1]内でのf(x)の零点がa,b（0<a<b<1）だけとすると
f(x)の符号変化が+-+なら 0<∫_[0,1] (x-a)(x-b)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が-++なら 0<∫_[0,1] (x-a)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が+++なら 0<∫_[0,1] f(x)dx=0より矛盾
他の場合も同じようにして矛盾が出る
0049１３２人目の素数さん
2009/11/08(日) 02:24:41試しにプログラムに解かせてみたら55を筆頭に出るわ出るわ。
(2^n+3^n)/nが整数になる数nのうち小さいもの
1,5,25,55,125,
275,605,625,1375,3025,
3125,6655,6875,15125,15625,
30025,31375,33275,34375,73205,
75625,78125
0050１３２人目の素数さん
2009/11/08(日) 10:47:00よく分かりました。有難う。
0051１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 19:22:55ｉってその形であらわせるんかな？
0052１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 19:28:160053１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 19:43:13問題文が曖昧
誰か書き直して
0054１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 20:21:110055１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 20:25:44a+biに依存するのかしないのかはやや曖昧で
文法的には両方の解釈が出来る。
まあ文脈と常識で補えるけど、数学の大学入試問題の場合、
「いかなる悪意をもって解釈しても」こういう風にしか解釈できない
というのがベストで、実際そういう東大や京大の問題文は
そういう感じになってるはず。
0056１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 20:38:120,1無限列(Cn)がa,bによらず一様に取れて、適当な有限和でa+bi=納k=1,n]C(k)(1-i)^k
なのか、それとも
0,1有限列(Cn)がa,bを決めるごとに定まるかということだな
文脈的に捉えると下？
0057１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 21:46:360058１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 23:11:36この場合ガウス整数を (-1 + i) 進法で表すという話
0059１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 23:23:450060１３２人目の素数さん
2009/11/09(月) 23:52:280062１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 02:17:22xが有理数⇔yが有理数
を満たすためのf(x)の必要十分条件を求めよ
0063１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 05:41:39n!はm^pで割り切れる。pの最大値をp[max]とするとき
極限値lim(n→∞)p[max]/nを求めよ｣
0064１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 06:30:00p[max]=inf.
006563
2009/11/20(金) 06:42:370066１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 07:15:400067１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 10:22:20n=m^k^lとおくとp[max]=k^l+k^(l-1)+k^(l-2)+･･･+1=(k^(l+1)-1)/(k-1)
よってlim(n→∞)p[max]/n
=lim(n→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)
=lim(l→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)=0
0068１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 14:06:490069１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 20:51:03=2222222236254Ｘ
Ｘの値を求めよ
0070１３２人目の素数さん
2009/11/20(金) 21:17:36切り口がN角形であるとすると、N≦6であることを示せ。
0071１３２人目の素数さん
2009/11/22(日) 00:15:060072１３２人目の素数さん
2009/11/22(日) 03:01:03(sinx＜x＜tanx)
lim(x→0){(cosx^n-1)/sinx^n}
=lim(x→0)x^n/sinx^n×(cosx^n-1)/x^2n×x^n
=(定数)*0=0
あとは挟み撃ち
(∵cosx^n-1=√(1-sinx^2n)-1
=-sinx^2n/(√(1-sinx^2n)+1))
0073１３２人目の素数さん
2009/11/22(日) 09:25:09>>48のとちょっと違う方法で解けてみます。
0 = ∫［0,1] x^2・f(ｘ）ｄｘ
=[ｔ・∫[0,t] s・f(s）ｄs][t=0,1] - (∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt ) (部分積分法)
=(∫[0,1] s・f(s）ｄs - 0) - ∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt
= 0 -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt (∵∫[0,1] s・f(s）ｄs = 0)
= -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt
∴∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt = 0
∃ａ∈[0,1] s.t. ∫[0,ａ] s・f(s）ｄs = 0
0074１３２人目の素数さん
2009/11/22(日) 11:04:37そして自分の証明に問題あったのを気付きました。証明を完成したから出直します。
0075１３２人目の素数さん
2009/11/22(日) 22:26:25n=2 のとき -1,
n>2 のとき ∞
>>65
1/(m1 -1), m1はmの最大の素因数。
>>70
隣接する面が△と▲になるように色付けする。
４つの△（▲）のうち、３つと交わる平面はあるが、４つと交わる平面はない
ことを示す。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1206257132/48-54
casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる
0077１３２人目の素数さん
2009/11/23(月) 23:35:01ライプニッツの微分公式とテイラー展開使うから解けない。
まあ上記の二つを証明して解くなら別だが…
0078べ
2009/11/24(火) 01:21:32帰納法でできたりしない…？
0079１３２人目の素数さん
2009/11/24(火) 17:13:21m^a+n^aが(mn)^bで割りきれるための自然数組(a,b,n,m)の必要十分条件を求めよ
0080１３２人目の素数さん
2009/11/24(火) 20:07:09{mnの素因数} = {mの素因数} U {nの素因数},
素数p が {mの素因数}、{nの素因数} の一方のみに含まれるとすると, 題意に矛盾する。
∴ {mの素因数} = {nの素因数} = {mnの素因数} = S,
そこで
S = {p_1,p_2,････,p_#S}
m = Π(i=1,#S) (p_i)^(μ_i),
n = Π(i=1,#S) (p_i)^(ν_i),
とおく。与式より
∀(1≦i≦#S) a･min(μ_i,ν_i) ≧ b･(μ_i+ν_i),
0081１３２人目の素数さん
2009/11/24(火) 23:31:59正解
0082１３２人目の素数さん
2009/11/24(火) 23:37:170083１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 00:04:430084１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 02:05:11命題が偽
0085１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 08:15:36両乳によるはさみうちの原理
0086１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 11:03:42(1) nを正の整数として、
f(n+1) < ∫[n,n+1] f(x)dx 及び f(n) > ∫[n,n+1] f(x)dx + (1/2)( f(n) - f(n+1) )
が成り立つことを示せ。
(2) Σ[k=1,100] f(k) の値を、小数第一位を四捨五入して求めよ。
0087１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 14:09:540088１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 18:00:00ｍ＝２。
ｎ＝２。
0090１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 19:52:160091１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 20:06:070092１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 20:15:06(1) y=f(x) は下に凸だから、
f(n+1) < ∫[n+0.5, n+1.5] f(x)dx,
(1/2){f(n) + f(n+1)} > ∫[n, n+1] f(x)dx,
(2)
S < ∫[0.5, 100.5] f(x)dx = [ 2√x ](x=0.5, 100.5)
= 2(√100.5 - √0.5)
= 18.635724093390326301957049778242…
S > ∫[1, 100] f(x)dx + (1/2)f(1) + (1/2)f(100)
= [ 2√x ](x=1,100) + (1/2) + (1/20)
= 18.55
平均をとって 18.59
S = Σ[k=1,100] f(k) = 18.589603824784153422358163109306･･･
0093１３２人目の素数さん
2009/11/25(水) 22:45:08余り0
4444 = (-1) mod 7、3333 = 1 mod 7より、4444^3333 = (-1) mod 7、3333^4 = 1 mod 7
これはどこのFランの問題ですか？
0094べ
2009/11/26(木) 00:51:510095べ
2009/11/26(木) 01:17:54m,nを実数とする。
x^2+m=xsinxを満たす解、x^2+m=xsin2xを満たす解が存在しない時、
x^2+m=xsinnxを満たす解は存在しない。
0096べ
2009/11/26(木) 01:20:18×m,nを実数とする。
○m,nを正の数とする。
0097１３２人目の素数さん
2009/11/27(金) 00:22:460.204<m<1/4, x=√m のとき
x + m/x < 1,
0098１３２人目の素数さん
2009/11/27(金) 23:14:57|x| < π/3 では |sin(2x)| =2|sin(x)|cos(x) > |sin(x)|,
だから sin(2x) の方に注目する。
f(x) = x･sin(2x) - x^2 = {sin(2x)/2}^2 -{(1/2)sin(x) -x}^2 ≦ {sin(2x)/2}^2 ≦ 1/4,
∴ m>1/4 のとき、f(x)=m の解は存在しない。
m≦1/4 のとき
f(x0) = m0 が重解 x=x0 をもつとしよう。
x=x0 で極値をとることから
f '(x0) = sin(2x0){1 - 2x0･tan(x0)} = 0,
∴ tan(x0) = 1/(2x0),
∴ x0 ≒ 0.653271187･･･
∴ m0 = (x0^2)(3-4x0^2)/(1+4x0^2) ≒ 0.203831351･･･
∴ m0 < m < 1/4, n = π/(2√m)) のとき
g(x) = x･sin(n･x) - x^2 とおくと
g(0) = 0 < m,
g(√m) = √m - m > m,
∴ g(x) = m は 0<x<√m に解をもつ。 （← 中間値の定理）
0099べ
2009/11/28(土) 00:04:190100１３２人目の素数さん
2009/11/28(土) 00:24:48の成立条件を p，a，b，c を用いて表せ．
【発展問題】(未解決)
上記の成立条件および p＋a＋b＋c＝1 を満たすとき，
四面体OABCの体積の最大値を求めよ．
0101１３２人目の素数さん
2009/11/28(土) 00:31:190102べ
2009/11/28(土) 00:55:04y=frac(tanx)とy=(10x+6.5)^2-0.7は-1以上0以下の解を持つか？
ただし、frac(x)はxの小数部分を持つ関数である。
0103べ
2009/11/28(土) 01:19:20tan(x)/169.178-xとtan(x+0.6)は１以上２以下の解を持つか？
100frac(tanx)は-7<x<7の範囲で解を４つ持つ。
これを証明せよ。（難）
0104１３２人目の素数さん
2009/11/28(土) 04:56:090105１３２人目の素数さん
2009/11/28(土) 14:00:540106１３２人目の素数さん
2009/11/28(土) 19:46:33くだらねぇ問題スレで書いてこいよ。
0107１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 00:59:38１．時刻t=0において、正k角形（kは3以上の自然数）のある頂点に動点Aがある。
Aは、今いる頂点に留まるか、正k角形の辺上又は対角線上を通って他の頂点に移動するかを１秒ごとに選択する。
Aがある頂点を選ぶ確率が全て1/kであるとき、時刻t=n（nは非負整数）において訪れている頂点の数の期待値E(n)を求めよ。
ただし、Aの移動速度は一定ではなく、時刻t=0,1,2,・・・,nにおいて必ずどこかの頂点にあるものとする。
２．ある格子点(a,b)を中心とする半径r(>0)の円Cを考える。
rの大きさを色々と変化させる時、円周上に少なくともn個の格子点があるような円Cが存在する事を示せ。
0108１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 12:33:02(1)不等式Ｐ(Ａ∩Ｂ)≦Ｐ(Ａ)≦Ｐ(Ａ∪Ｂ)を示せ。
(2)等式Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)―Ｐ(Ａ∩Ｂ)を示せ。
(3)事象ＡとＢは空でないとする。Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。(1)の不等式をみたすときlimＰn(Ａ)＝1であることを示せ。
0109１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 17:24:19取りあえず，体積を a,b,c,p で表す事はできた．
0110１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 19:00:29結果をつる山塊
0111１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 19:25:55底面△ABC の外接円の半径をR, 面積を⊿ とすると
R = abc/(4⊿),
４面体の高さをh, 体積をVとすると
V = (1/3)⊿･h = (1/3)⊿√(p^2 - R^2) = (1/3)√{(⊿･p)^2 - (abc/4)^2},
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
s = (a+b+c)/2,
0112１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 21:59:36最後まで書くように．
0113１３２人目の素数さん
2009/11/29(日) 22:32:45簡単だけど、俺は好き
011435
2009/11/30(月) 21:46:17(a+b+c)/2 = s とおくとき、
s-a >0,
s-b >0,
s-c >0,
p > abc/{4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]},
0115１３２人目の素数さん
2009/12/01(火) 22:02:38(ア) a[1] = 1
(イ) ｎを自然数として、
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
(ちなみに、{a[n]}の項を初項からいくつか順に並べると 1,3,4,5,7,9,11,・・・ となる。)
Nを自然数とし、{a[n]}の項でN以下のものの個数をF(N)で表す。
このとき、 F(4N) = 2N + F(N) が成り立つことを示せ。
0116115
2009/12/02(水) 10:33:12誤
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
正
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
0117１３２人目の素数さん
2009/12/02(水) 14:21:56こういう先っぽだけちょろっとのぞいてる仮性包茎大好き
0118１３２人目の素数さん
2009/12/02(水) 14:24:150119１３２人目の素数さん
2009/12/02(水) 15:38:540120１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 01:11:12(1)A_(n+1)=1+2/A_n,A_1=1/2を満たす数列A_nの一般項を求めよ
(2)A_nが整数値をとるnを全て求めよ
(3)lim(n→∞)A_nを求めよ
いつもより易しいかも
0121１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 02:13:21ほもおつ
0122某予備校数学科講師
2009/12/03(木) 02:31:520123１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 02:44:400124１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 02:59:23よくできた問題ですね
予備校の東大模試には採用されなかった問題ですか？
0125１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 07:55:15ax+by+cz+d=0
が成り立つことを示せ。
(2)xyz空間において、点(p,q,r)と(1)の平面の距離をDとすると
D=|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)
が成り立つことを示せ。
0126１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 11:53:09F(2N)＝2N－F(N)が成り立つことを証明する。これが示せれば、
F(4N)＝4N－F(2N)＝4N－(2N－F(N))＝2N＋F(N)となる。
a[n＋1]－a[n]＝1 or 2 であるから、「a[1],a[2],a[3],…」と
並べて眺めると、隣り合った2つのa[i],a[i＋1]について、
その差が1のときは、この2つは連続しているということであり、
差が2のときは、この2つは連続しておらず、間に「虫食い」が
1個あるということである。そこで、「F(2N)＝2N－虫食いの個数」
という形で計算することを考える。
上記の考察から、一般に、自然数kが「虫食い」であるのは、
a[n＋1]－a[n]＝2かつa[n]＜k＜a[n＋1] を満たすnが
存在するときに限る。このときk＝2a[m]となるmが存在する。
逆に、k＝2a[m]のとき、kは「虫食い」になることが言える
(自明ではないが、難しくもないので証明は省略する)。
以上より、虫食いは2a[1],2a[2],2a[3],…で全てである。
特に、1,2,…,2Nの中にある虫食いは
2a[1],2a[2],…,2a[M] (Mは2a[M]≦2N＜2a[M＋1]を満たす)
のM個である。a[M]≦N＜a[M＋1]であるから、M＝F(N)と
表せるので、以上より、F(2N)＝2N－F(N)を得る。
0127１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 15:11:48f(x)=1(xが有理数)、0(xが無理数)
このとき、
∫[0,1]f(x)dx=0であることを証明せよ。
0128１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 15:15:460129１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 16:19:540130１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 17:31:32ゆとりｗとか笑ってる場合じゃないな
0131１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 18:00:190132１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 20:49:140133１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 21:15:17(1) A_n = { 2^n + (-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } と予想。帰納法で示すのは容易。
(2) A_n - 2 = { 3*(-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } 。 この右辺は、
n=1のとき -3/2、n=2のとき 3、
n≧3のときは(分子の絶対値)＜(分母)が容易に示せるので整数にならない。
よって答は 「n=2」。
(3) 蛇足。
0134１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 22:35:19(1)tの関数として,S(t)(0<t<π/2)を求めよ。
(2)S(t)はある1点t=t_0で最小値をとることを示せ。また、π/4<t_0<1を示せ。
(3)S(t_0)=2t_0cost_0を示せ。また、S(t_0)>(√2)π/4を示せ。
0135１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 22:53:26それは俺が受験した年の京大ではないか
0136１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 22:58:210137１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 22:59:410138１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 23:03:37でいいっしょ。
0139１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 23:46:440140１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 23:48:210141１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 23:51:22いつの問題?
0142１３２人目の素数さん
2009/12/03(木) 23:55:450143１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 01:17:370144１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 01:18:45f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[n→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
0145１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 02:58:22【問】(B***くらい？)
0≦x≦n,0≦y≦2sin(πx/n)
を満たす領域をDnとして
Dn内の格子点の数をf(n)
面積をS(n)とするとき
lim(n→∞)f(n)/S(n)を求めよ
0146１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 06:31:35A**くらいだよこんなおなにー
0147１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 09:42:36> >>133正解です
(3)の答は「蛇足」が正答なのかww
0148１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 16:24:510149１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 17:39:39＞ lim[n→∞]f(x)/h
0150１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 18:13:40f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
0151１３２人目の素数さん
2009/12/04(金) 21:53:57(2)はまだおかしい。
「lim[h→0]f(h)/hを求めよ。」 じゃないのか？
0152１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 00:07:22A_n = B_n / B_(n-1) とおくと、線形漸化式
B_(n+1) = B_n + 2B_(n-1),
が出る。
B_1 / B_0 = A_1 = 1/2,
より、
B_n = (2^n) + (-1)^n,
lim(n→∞) A_n = 2,
0153152
2009/12/05(土) 00:24:50(1/2)log(2) = a とおくと、
A_n = (√2)cosh(an)/cosh(a(n-1)), (n:偶数)
A_n = (√2)sinh(an)/sinh(a(n-1)), (n:奇数)
とも表わせる。
0154１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 00:39:42ご指摘ありがとう
【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
0155１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 01:15:27関数f_k(x)=x^ke^(-x)のx≧0における最大値をM_kとおく
(1) M_kを求めよ
(2) x≧0において，f_{k+1}(x)≦M_{k+1}が成り立つことを利用して，lim[x→∞]f_k(x)を求めよ
(3) lim[k→∞]M_{k+1}/kM_kを求めよ
0156１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 14:06:22(2) は h→∞ でいいの？ h→0 じゃなくて？
0157１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 16:38:35f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→0]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
0158１３２人目の素数さん
2009/12/05(土) 16:53:39を誰かおしえてくれ
0159１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 12:59:54これらのカードの中から無作為にn枚のカードをとりだし,一列に並べる.
このとき,どの隣り合う２枚のカードに書かれた数の和も奇数であるような確率を求めよ.
0160１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 14:14:56制限時間５００年
0161１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 14:23:590162１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 14:32:11(1),(2)は普通に計算。(3)は
＞Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。
ここが意味不明。
0163１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 16:40:33誰か教えてくれ
0164１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 16:49:01どれも定義を確認していくだけの問題。
0165１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 17:40:54答え教えてください
略解でいいので
0166１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:22:340167１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:29:11(1) 与式でs=t=0とすれば容易にf(0)=0を得る。
(2) f(h)/h = { f(h) - f(0)}/h (∵(1))。h→0とすればその極限値はf'(0)=1。
(3) { f(s+t) - f(s) }/t = f(s)*( e^t - 1)/t + { f(t)/t}*e^s で、t→0とすれば右辺は f(s)+e^s 。
よってf(x)は任意のxで微分可能。とくに f'(x) = f(x) + e^x 。
(4) g(x)は g'(x) = 1 を満たす。g(0) = 0 とあわせて g(x)=x 。よってf(x)=xe^x
0168１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:37:54東大A
http://uproda.2ch-library.com/lib194460.pdf.shtml
東大A*
http://uproda.2ch-library.com/lib194461.pdf.shtml
東大B
http://uproda.2ch-library.com/lib194462.pdf.shtml
http://uproda.2ch-library.com/lib194463.pdf.shtml
0169１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:41:05TEXで作問?
なかなか良問揃えたな
0170１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:44:01そのAとかBとかってのは何だい？
0171１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 18:47:24B 普通
C 難しい
D very hard
*かける10分 が目安の時間
0172１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 19:52:51OA↑+OB↑+OC↑=OX↑, X=(t,0) をみたすとき, tの最大値を求めよ.
0174１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 21:09:490175１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 21:36:190176１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 21:45:380177１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 21:56:130178１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 22:00:580179１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 22:52:180180１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 23:28:070181１３２人目の素数さん
2009/12/06(日) 23:34:57t = |OX↑| = |OA↑ + OB↑ + OC↑|,
∠(OA↑,OB↑) = 2∠ACB = 2∠C,
∠(OB↑,OC↑) = 2∠BAC = 2∠A,
∠(OC↑,OA↑) = 2∠CBA = 2∠B,
t^2 = |OA↑|^2 + |OB↑|^2 + |OC↑|^2 +2|OA↑||OB↑|cos(2C) + 2|OB↑||OC↑|cos(2A) + 2|OC↑||OA↑|cos(2B)
= 3 + 2{cos(2A) + cos(2B) + cos(2C)}
= 1 - 8cos(A)cos(B)cos(C) (← A+B+C=π)
≦ 1, (← 鋭角)
等号成立は、直角⊿ のとき。
0182１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 02:57:070183１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 19:39:37お願いしますm(__)m
0184１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 20:39:080185１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 20:47:13中学生でも解けそうだな
0186１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 22:14:15とおくとき，a_n の最大値を求めよ。
0187１３２人目の素数さん
2009/12/07(月) 22:46:38a_1 = 6/10 、 a_2 = 36/58 = 0.62・・・ 、 a_3 = 216/370 = 0.58・・・
n≧4 のとき、a_n < (6/7)^n ≦ (6/7)^4 = 0.53・・・ ≦ a_3 。
よって最大値は a_2 = 18/29 。
0188186
2009/12/07(月) 23:09:11a_1＜a_2＞a_3＞a_4＞a_5＞．．．を示せ（a_2 以降単調減少）
も簡単ですよね？
0189１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 00:10:490190１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 00:19:340191１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 02:08:57数オリの本に一般的な定理の形で載ってる
0192１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 19:05:560193１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 19:33:30円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
0194１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 20:44:500195１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 20:50:040196猫は珍獣 ◆ghclfYsc82
2009/12/08(火) 20:50:05猫
0197１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 22:07:41東京大学の良問ｗ
0198１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 22:15:53その根源に関わる円周率の大きさの評価に関する問題は
悪問と言わざるを得ない。
0199１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 23:08:370200１３２人目の素数さん
2009/12/08(火) 23:34:240201１３２人目の素数さん
2009/12/09(水) 00:03:07有理数で定義された実数値関数P(x)が
すべての有理数x.yについて、
P(x+y)=P(x)+P(y)
を満たしているとする。このときすべての有理数xについて
P(x)=P(1)*x
であることを示せ
2.
nを自然数とする
3^n+2^nと8*3^n+3*2^nの最大公約数を求めよ
0202１３２人目の素数さん
2009/12/09(水) 01:41:24積分が出てくる問題は悪問と言わざるを得ない。
0203１３２人目の素数さん
2009/12/09(水) 02:10:210204１３２人目の素数さん
2009/12/09(水) 08:04:311は全く同じ問題を考えた事がある
0205１３２人目の素数さん
2009/12/09(水) 11:05:311
P(x_1 + ・・・ + x_k) = P(x_1) +・・・+ P(x_k) が帰納法により示せる。
よって 正整数nに対してP(n)=P(1+・・・+1)=n*P(1) で、
また、正整数mに対して P(1) = P(1/m + ・・・ + 1/m) = m*P(1/m) となるので、P(1/m) = (1/m)*P(1) であり、
さらに P(n/m) = nP*(1/m) = (n/m)*P(1) がいえることが分かる。
つまり、正の有理数について題意は成り立つ。
一方、P(0+0)=P(0)+P(0)よりP(0)=0 (=0*P(1))。すると0 = P(x+(-x)) = P(x)+P(-x) より P(-x)=-P(x) がいえる。
これで0以下の有理数についても成り立つことが分かる。以上により題意は示された。
2
A=3^n+2^n , B=8*3^n+3*2^n
(A , B) = (A , B-3A) だから、3^n+2^n と 5*3^nのGCDを求めればよい。
3^n+2^nは3で割り切れず、
また 3^n+2^n ≡ (-2)^n + 2^n (mod.5)だから、nが奇数のときのみ3^n+5^nは5の倍数になる。
よって求める答は 「nが奇数のときは5、nが偶数のときは1」。
0206１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 16:26:011992年以前のものがあれば嬉しいです。
0207１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 20:18:540208１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 22:27:17ジェンセンの不等式で一発
0209１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 22:32:200210１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 22:33:56★
┻
┛┗ ＰとＱが異なる奇素数であるとき
┛ ┗ Ｐ×Ｑは完全数でないことを証明せよ。
┛☆ ┗
┛ ☆┗
┛━┳┳━┗
━━━┻┻━━━━
A merry Christmas to you.
0211１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 22:44:27イェンゼンの不等式は範囲外なのか?
0212１３２人目の素数さん
2009/12/10(木) 23:02:59範囲内外という事で言うなら京都大学でその不等式を背景にした
不等式の証明問題が出題されたときに、2変数までは使用を認める。
3変数以降に適用する場合は要証明というスタンスで原則採点する
と大学入試懇談会で発言したんだってさ。
ただ、範囲内外がどうこうというよりも大問1題として提供されたときに
瞬殺解答を提示するのは、出題者の望むところではなく
独りよがりな解答となるので点が来なくても文句はいえないというのが理由
最近の大阪大学の問題でも
⊿OABの周または内部に点Pがある条件を
OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。
0213１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 00:25:13PとQが異なる奇素数なので、任意の2つの奇素数P,Qについて
1+P+Q≠PQが言える事を示せば良い。
P=4n+1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+3
PQ=4(4mn+m+n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m+n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n+1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m-n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)-1
PQ=4(4mn-m-n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
故に、任意の2つの奇素数P,Qについて、1+P+Q≠PQ
0214１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 02:48:40いい問題だな
0215１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 04:04:560216１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 05:10:24それ昨日解いた。細部の証明は自力でやるべし↓
a[n]は自然数列だから、もし収束するとしたら、途中からずっと
一定の自然数Mになる。このときM＝[√M]^2＋2m が成り立つから、
こうなる自然数Mについて考える。c＝[√M]とおけばM＝c^2＋2mだから、
c＝[√M]＝[√(c^2＋2m)] となり、c≦√(c^2＋2m)＜c＋1 となる。
両辺を2乗して整理すると0≦2m＜2c＋1だからm≦cとなる。逆に、
m≦cのとき、M＝c^2＋2mはM＝[√M]^2＋2mを満たす。a[n]に戻って
考えれば、
m≦[√a[n]]なら、a[n＋1]以降はずっと一定の自然数になる
ということ(c＝[√a[n]]，M＝c^2＋2m＝a[n＋1]と見る)。
よって、m≦[√a[n]]となる最小の自然数nについて考察すればよい。
まず、m＝1のときは極限値がすぐに出せるので、m≧2として考える。
次に、m≦[√a[n]]となる自然数nが少なくとも1つは存在することを
示す(背理法で言える)。これが言えたら、m≦[√a[n]]となる最小の
自然数をpとおく。[√a[1]]＝1及びm≧2から、p≧2だと分かる。
また、pの最小性から
[√a[p－1]]＜m≦[√a[p]]
となる。d＝[√a[p－1]]とおいて、上の不等式をdを使って書き直して
計算すると、m≧3のときは、d＝m－1でなければならないと分かる。
このとき、a[p＋1]以降はずっとm^2＋2mとなる。つまり、m≧3のときは
a[n]はm^2＋2mに収束する。m＝2のときは地道に計算して極限値を出す。
試験に出すには難しすぎるような(´・ω・｀)
0217１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 06:51:16> 最近の大阪大学の問題でも
> ⊿OABの周または内部に点Pがある条件を
> OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
> を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
> 案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。
出題者の能力不足。
0218１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 16:41:382^(2/3) < lim[n→∞]A_n < 2 を示せ
0219１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 17:18:422^(7/9) < lim[n→∞]A_n < 2 の間違いでした
0220１３２人目の素数さん
2009/12/11(金) 23:05:24今、AB上にp:1-pに内分する点A(1) , BC上にq:1-qに内分する点B(1)
CA上にr:1-rに内分する点C(1)を取る。そして、A(1)B(1)、B(1)C(1),C(1)A(1)上に
それぞれ、p:(1-p),q:(1-q).r:(1-r)に内分する点A(2),B(2),C(2)をとり、
以下同様にして、A(k),B(k),C(k)(k=3,4…..n)を取る。
ここで、nが大きくなるにつれてA(n),B(n),C(n)はある収束点に近づき、その点をDとおく。
このとき、AD↑をAB↑およびAC↑を用いて表せ。
0221１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 02:39:340222１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 02:41:310223１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 18:33:100224１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 18:33:18易しすぎ
どこのＦランの問題？
0225223
2009/12/12(土) 18:39:510226１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 19:02:150227１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 19:09:28√(n^2+1)>0より、有理数と仮定すると、
√(n^2+1)=p/q(p,qは互いに素な自然数)と書く事が出来る。
q(n^2+1)=p^2/q
左辺が整数なので、右辺も整数。gcd(p,q)=1よりq=1
よって、√(n^2+1)=p
(p+n)(p-n)=1
(p+n,p-n)=(1,1)となり不適。
したがって、√(n^2+1)は無理数である。
0228１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 19:10:270229１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 19:14:11どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を行い
勝ち星の多寡によって順位を定めるリーグ戦方式で戦う。
引き分けがなく、同順位のチームがないとすれば
どのチームもそれより下位のチームに必ず勝っていることを示せ
0230１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 20:50:24引き分けがないとき、勝敗成績としてありうるのは n-k-1勝k敗 (k=0,1,・・・,n-1) のn種類しかない。
よって本問の場合、これらn種類の成績のチームが1つずつある。
k敗のチームをA_k と表すと、
A_0 は全勝。よってA_0はA_1に勝ち、またA_1の敗戦はその1敗だけ。
A_0とA_1はA_2に勝ち、またA_2の敗戦はその2敗だけ。
以下、帰納的に「A_0,A_1,・・・,A_(k-1)はA_kに勝ち、A_kの敗戦はそのk敗だけ」といえる。
0231１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 23:32:11｛(n"C"2p-1)+1｝と｛(n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.
0232１３２人目の素数さん
2009/12/12(土) 23:33:32(2n+1)が素数のとき,1≦p≦n, 1≦q≦n をみたすどのようなp,qについても
｛(2n"C"2p-1)+1｝と｛(2n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.
0233１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 00:12:10n"C"kは整数であることを示せ。
0234１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 00:16:40不等号に等号付け忘れてる？
" < " じゃなくて " ≦ " が問題として適切だと思う
0237１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 02:06:00cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A)cos(2B)cos(2C)
= (1/2){1+cos(2A)}{1+cos(2B)}{1+cos(2C)} - (1/2){1-cos(2A)}{1-cos(2B)}{1-cos(2C)}
= 4{cos(A)cos(B)cos(C)}^2 - 4{sin(A)sin(B)sin(C)}^2, ････ (1)
cos(2A)cos(2B)cos(2C) - cos(2A+2B+2C) = cos(2A)sin(2B)sin(2C) + sin(2A)cos(2B)sin(2C) + sin(2A)sin(2B)cos(2C)
= {cos(A)^2 -sin(A)^2}sin(2B)sin(2C) + sin(2A){cos(B)^2 -sin(B)^2}sin(2C) + sin(2A)sin(2B){cos(C)^2 -sin(C)^2}
= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)sin(B)sin(C) +sin(A)cos(B)sin(C) +sin(A)sin(B)cos(C)}
-4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)cos(B)cos(C) +cos(A)sin(B)cos(C) +cos(A)cos(B)sin(C)}
= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)cos(B)cos(C) -cos(A+B+C)}
-4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)sin(B)sin(C) +sin(A+B+C)}
= [ 1 ] -4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) -4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C), ･････(2)
(1)-(2) より
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A+2B+2C) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) + 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C),
A+B+C+D=0 のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),
0238１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 10:30:462n+1が素数のとき、C[2n,2p-1]+1 も C[2n,2q]-1 もともに2n+1の倍数になることをいえばよい。
C[2n,k+2] - C[2n,k]
= (C[2n,k+2]+C[2n,k+1]) - (C[2n,k+1]+C[2n,k])
= C[2n+1,k+2] - C[2n+1,k+1]
であり、ここで2n+1が素数なら C[2n+1,k+2] も C[2n+1,k+1] も2n+1の倍数なので、
よって2n+1が素数なら C[2n,k+2] - C[2n,k] も2n+1の倍数である・・・★
C[2n,1]+1 = 2n+1 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,1]+1, C[2n,3]+1, C[2n,5]+1,・・・はすべて2n+1の倍数。
C[2n,0]-1 = 0 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,0]-1, C[2n,2]-1, C[2n,4]-1,・・・はすべて2n+1の倍数。
証明終わり。
0239１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 14:16:560240１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 14:42:21どっかでみたことあるし
0241１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 15:07:16logx/xを考えれば終わり
0242１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 15:58:49難易度どれくらいでした？
0243１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 17:13:51中学入試レベル
0244１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 19:54:15z=y+1/y
を同時に満たすようなx.y.zを求めよ
もしそのようなx,y,zが存在しないのならばそのことを証明せよ
ただしxを実数,yを有理数,zを整数とする
0245１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 20:22:52z=(a/b)+1/(a/b)=(a^2+b^2)/ab
a^2+b^2をabで割った余りが0になれば良い。
(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/aも整数であり、これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、
bはaの倍数である。
又、(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/bも整数であり、これは(a^2)/bが整数であることを意味する為、
aはbの倍数である。よってa=b又はa=-b。
すると
z=±2,y=±1(複合同順)となるが、y=±1としてxについて整理した式
x^2±x+1=0の解が複素数になってしまう。
故にx,y,zの組は存在しない。
0246１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 20:26:110247１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 20:30:36A+B+C+D=0 をはずせば
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}
+ 2sin(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)･Ｓ_tan + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)･Ｓ_cot},
ここに
Ｓ_tan = tan(A) + tan(B) + tan(C) + tan(D),
Ｓ_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D),
0248１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 21:01:40駿台のコバタカの冬期講習のテキストにあった気がする
0249１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 21:02:00p=2のときは、a=b=1、1^2+1^2=2より成立しない。
pが奇素数とすると、
a^p+(p-a)^p = a^p + p^p - C[p,1] p^{p-1} a + ... + C[p,p-1] p a - a^p
で、C[p,k] (k=1,2,...,p-1)はpの倍数なので、p^2で割れる。
0250238
2009/12/13(日) 21:08:13一見「難しそう・・・」。
実験してみるとみんな2n+1の倍数になるみたいで、これなら何とかなりそう。
Nが素数ならC[N,k] (1≦k≦N-1) はNの倍数になることが利用できそう・・・と考えて、方針が立つ。
20分ほどでなんとか解決、という感じでした。
0251１３２人目の素数さん
2009/12/13(日) 21:49:10A+B+C+D+E = 0 のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E)
= cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E)･(5-τ) -3sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E)･Ｓ'_cot,
ここに
τ = tan(A)tan(B) + tan(A)tan(C) + tan(A)tan(D) + tan(A)tan(E) + tan(B)tan(C) + tan(B)tan(D) + tan(B)tan(E) + tan(C)tan(D) + tan(C)tan(E) + tan(D)tan(E),
Ｓ'_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D) + cot(E),
0252１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 10:33:10＞これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、bはaの倍数である。
b＝2，a＝4のとき、(b^2)/aは整数だが、bはaの倍数ではない
0253１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 15:21:300254１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 15:52:010255１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 20:28:51なんで「二つ」とか書いてるのか意味分からん
0256１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:12:14やっぱ優しすぎるよね？
模擬試験に出題しようとしていた
俺が馬鹿だったわort
0257１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:14:29疑うようで悪いが、俺のレベルの低さを
知る為に模範解答頼んでいい？
0258１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:23:04を解説付きで頼むわ
0259１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:23:57お前の数学以外の得意な科目も教えて
もらえないかな？
0260１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:28:45数学をやっていて良かったと思えること
Fランクの人間の数学レベルについて
けしからんと思う事もお願いします。
0261１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:32:11数学の難問の出題の仕方も伝授
出来ないでしょうか？
ぜひともお願いします。
0262１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:34:33俺は分かってやっていますので
大丈夫ですよ＾＾
0263１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:35:55もしかしてあなたはケツ顎ですか？
0264１３２人目の素数さん
2009/12/14(月) 22:38:59Back come on!!
0265１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 00:31:08名古屋はエ～エ～で♪
となる確率を求めよ．
0266１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 03:02:14解答？自明でしょ…わからない？視点をがらっとかえてごらんよ…わからない？……
数学以外の得意科目？物理学
難問作るコツ？悟りでも開けばみえてくるんじゃね？
0267１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 12:04:20ttp://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_pdf/91zs.pdf
の6番の(2)以降がが分かりません．問題が古いので解答がなく困っています．
どなたかお助けを．
ちなみに (1) S(x)＝1/x^4，f(x)－2f(2x)＝4/x^5 となりました．
0268１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 12:08:580269１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 12:30:54>(1) S(x)＝1/x^4，f(x)－2f(2x)＝4/x^5 となりました．
これはあってる。
(2)
(2^k)*f( (2^k) x) = A_k とおく。
(1)で得た f(x)－2f(2x)＝4/x^5 の x を (2^k)x に置き換えた式を作り、両辺に2^k をかけると
A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
これを、k=0,1,・・・,nまで和をとると・・・・あとは頑張れ。
0270269
2009/12/15(火) 12:42:00下から2行め。
誤 A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
正 A_k - A_(k+1) = (2^(2-4k))/x^5
0271１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 13:02:44頑張って計算すると
2^n*f(2^n*x)=f(x)-64/(15x^4)*(1-(1/16)^n)
になってこれから
a(x)=f(x)-64/(15x^4)
さらに∫[x,2x]a(t)dt=0
がわかりこれが任意のxで成立しててa(x)≧0だからa(x)=0
0272１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 13:24:26どうも有難うございました！
おかげでぐっすり眠れそうです。
この解法って定石なんですかね。
a(x)＝0 となる所なんか上手く行き過ぎてるって感じがします。
0273１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 13:25:34http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html
0274１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 13:48:09( 1, 0 ), ( -1/2, (√3)/2 ), ( -1/2, -(√3)/2 ) を頂点とする正三角形の周および頂点からなる図形をTとおく。
行列 ([a, -b][b, a]) が表す一次変換によるTの像をT'とする。
TとT'が共有点をもつとき、点( a, b ) の存在する範囲を図示せよ。
0275１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 15:00:040276１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 15:34:30相似＋回転の合成変換
ありきたりだ
0277１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 15:56:15斬新な問題よりも典型問題をちょっと発展させた問題の方が的中する可能性が高いのは事実だな。
0278１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 16:02:420279１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 16:27:51またiを虚数単位とするとき、
e^(iθ)=cosθ+isinθ
が成り立つことを示せ。
0280１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 16:28:340281１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 16:59:38Ｑ上に射影された三角形の３辺の各々の長さの平方の和は
正三角形のＰ上への置き方に関係なく一定であることを示せ。
0282１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 17:58:210283１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 17:59:110284１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 18:06:46これ見たことあるわw
まず直角三角形考えてずらすんでしょ？
0285１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 21:18:11http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/420
0286１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 21:35:22PQの長さが常に２であるときの, Rの軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ.
0287１３２人目の素数さん
2009/12/15(火) 22:19:19P(2sinθ,0)、Q(0, 2cosθ) と表せる。
このとき Rの座標は (2sin(2θ)*cosθ, 2sin(2θ)*sinθ) となる。
よってRの軌跡は極形式で r = 2sin(2θ) と表せる曲線である。
0288１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 06:59:12x^3+3xy+y^3=n
をみたす整数の組(x,y)が無限個存在するようなnをすべて求めよ。
0289１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 17:17:38駿台：京大実践模試
理系乙大問３
0290１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:04:42このとき、
lim[n→∞]a(N)/nを求めよ。
0291１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:05:32N(1≦N≦9)つけ忘れ
0292１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:18:45こんな、日本語としておかしい問題文は、少なくとも東大ではありえない。
最高位がNであるものの個数をa(N)とする。
だろう。
0293１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:20:420294１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:25:300295１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:30:280296１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:34:000297１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:34:06解けないからって……
0298１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 22:47:38そうですね、問題文の指摘ありがとうございます。
0299１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 23:04:58log[10](1＋1/N)
0300１３２人目の素数さん
2009/12/16(水) 23:51:07大昔の東大の過去問の類題
代ゼミ荻野の真・天にも類題掲載
0301１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 07:59:34いつも思うけどこういうレスは何がしたいの？
0302１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 08:48:25既出だよと言いたい
0303１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 09:24:450304１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 11:21:12この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？
0305出題委員 ◆XI1TEcNOFY
2009/12/17(木) 12:55:20おもしろいなそれいただき！
0306１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 13:08:31左からm本目の黒い線の座標はx=m/23 (m=1,2,...22)
左からn本目の赤い線の座標はx=n/34 (n=1,2,...33)
ゆえにm本目の黒い線とn本目の赤い線の距離は
d(m,n)=|m/23-n/34|=|34m-23n|/(23*34)
よって|34m-23n|を最小にする場合を考えればよい。
34m-23n=0とすると34と23は互いに素だからmは23の倍数だがm=1,2,...23よりこれは不合理。
ゆえに|34m-23n|≧1だが、例えばm=2,n=3とすればこの等号は成立するので|34m-23n|の最小値は1である。
よってd(m,n)の最小値はd(2,3)=1/782
0307１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 13:09:12＞m=1,2,...23よりこれは不合理。
→
＞m=1,2,...22よりこれは不合理。
0308１３２人目の素数さん
2009/12/17(木) 14:44:4613cm幅を等分する方向に引くとは書いてないんだが
0309１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 00:13:16A+B = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) = (-1)^n･(2cc -2ss),
A+B+C = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = (-1)^n･(3ccc -Ｓ_css),
A+B+C+D = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = (-1)^n･(4cccc -4ssss),
A+B+C+D+E = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = (-1)^n･(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss),
(略解)
cos(2θ_k) = cos(θ_k)cos(θ_k) - sin(θ_k)sin(θ_k)
= cos(θ_k)cos(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_n)
- sin(θ_k)sin(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_k)
=(-1)^n {cos(θ_k)cos(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_n)
+ sin(θ_k)sin(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_k)}
= (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) (L≠k) のn-1次の対称式},
(左辺) = (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) のn次の対称式},
0310１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 17:01:402進法で考えていいですか？
0311１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 17:19:53９０年代の東大理系数学ムズすぎワロタｗｗｗ
９８年とかマジ鬼畜ｗｗｗ
コテの皆さんはどのくらい解けましたか？
955 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:36:51 ID:JMkeaBaOO
>>954
98年の確率の問題(後期だったかも)は予備校講師は誰も解けなかったらしいな
956 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:39:49 ID:XcivioAK0
９０年代の京大理系数学も難しいなあ
0312１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 21:48:42すべての正三角形のfによる像は正三角形にうつる」
この命題が成立しないときはそれを証明し
成立するならばやはりそれを証明せよ
0313１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 22:15:09と書くほうがいいだろうな。また
この命題が成立しないときはそれを証明し
成立するならばやはりそれを証明せよ
は、
この命題が偽なら反例を示し、真ならそれを証明せよ。
と書くほうがいいだろう。
0314１３２人目の素数さん
2009/12/18(金) 23:17:56与えられた命題は真である。
0315314
2009/12/19(土) 00:00:32>>312
[証明]題意の一次変換をTとおく。
必要なら平行移動することにより、Cを原点としてよい。
A, Bの位置ベクトルをa, bと表す。また、原点中心60度回転変換をRと表す(その逆変換はR^と表す)。
必要なら点の名前を取り替えることにより、b = Ra としてよい。
適当な正の実数kと、原点中心の適当な回転変換Sを用いて、Ta = kSa と表せる。
また、適当な折り返し変換Uを用いて、Ta = kUa と表すこともできる。
仮定より、Ta と Tb は同じ大きさで60度の角をなすので、
Tb = RTa または Tb = (R^)Ta と書ける。
a と b は一次独立なので、任意のベクトルはx = λa + μb と書ける。
(case 1) Tb = RTa のとき：
Tx = λTa + μRTa = λkSa + μkRSa = λkSa + μkSRa (回転変換どうしは可換)
= kS(λa + μb) よって、T = kS (つまりTは拡大回転変換)
(case 2) Tb = (R^)Ta のとき：
Tx = λTa + μ(R^)Ta = λkUa + μk(R^)Ua = λkUa + μkURa (∵ (R^)U = UR)
= kU(λa + μb) よって、T = kU (つまりTは拡大折り返し変換)
いずれにしても、Tは相似変換になり、よって任意の正三角形を正三角形に写す。
0316１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 00:10:26計算はうざくなるか?
正三角形ABCの1辺のベクトル成分を(a.b)と設定して
(a.b)と60度回転させたベクトルを基底として
fの表現行列をAとすれば
A([a.b][a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2])
=([c.d][(c.d)を60度回転したもの])([c.d][c.dを-60度回転したもの])
(a.b)と(a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2)は一次独立だから
逆行列かければAが定まるし。
0317１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 00:23:14cos(2A) + cos(2B) = cos(A+B)(2cc + 2ss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = cos(A+B+C)(3ccc + Ｓ_css) + sin(A+B+C)(Ｓ_ccs +3sss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = cos(A+B+C+D)(4cccc -4ssss) + sin(A+B+C+D)(2Ｓ_cccs +2Ｓ_csss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)( ････ ),
0318１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 04:20:12cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)(3Ｓ_ccccs +Ｓ_ccsss -5sssss),
0319１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 04:35:37★N君が「3の倍数」を発声する事象を「事象 A」と呼ぶ。
★「＜10進法表記においていずれかの桁に 3 が存在＞する数字をN君が発声する事象を「事象 H」と呼ぶ。
★「事象 A」と「事象H」の両方が該当するような数字をN君が発声するときの事象を、「事象O」 と呼ぶ。
また、N君が1から自然数mまで発声した時点での、「事象 O 」の累計成立回数を、
f(m) と表記する。
（１）f(31) を求めよ
（２）f(2010) を求めよ
（３）自然数 ｎについて、f(ｎ)を求めよ
0320１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 05:33:02ccccc = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_ccccs = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_cccss = cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E)
+ cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_ccsss = cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E)
+ sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_cssss = cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E),
sssss = sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E),
0321１３２人目の素数さん
2009/12/19(土) 20:50:490322１３２人目の素数さん
2009/12/20(日) 20:53:17一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
かなり略して書いた↓
http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309837253.jpg
===
↓立方体とか考えてときたいけど。。。
http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309770645.gif
0323322
2009/12/21(月) 07:08:36＞一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
＞かなり略して書いた↓
＞http://sylphys.ddo.jp/upld2nd/pc3/src/1261309837253.jpg
の図の下の２つは展開図。
0324１３２人目の素数さん
2009/12/21(月) 18:10:300325１３２人目の素数さん
2009/12/22(火) 09:48:36正四面体OABCの辺OA、OB、OC上に、OP=p、OQ=q、OR=r となるように点P～Rをとる。
PQ^2 = p^2 + q^2 - pq 、QR^2 = q^2 + r^2 - qr 、PR^2 = p^2 + r^2 - pr である。
PQ^2 = QR^2 (⇔ p^2 - r^2 = q(p-r)・・・(i) )
かつ 2PQ^2 = PR^2 (⇔ p^2 + 2q^2 -2pq +pr -r^2 = 0・・・(ii) )
が成り立てば△PQRは直角二等辺三角形になる。
(i)のとき、p = r または q = p+r だが、ここで q = p+r を(ii)に代入すると
・・・ p^2 - 3pr + r^2 = 0 、よって p = 0.5{3±√5}*r となる。
つまり、p : q : r = (3±√5) : (5±√5) : 2 のとき(複号同順)、△PQRはQを直角とする二等辺三角形になる。
よって答は「できる」。
0326１３２人目の素数さん
2009/12/22(火) 16:20:58a[n+2] = 2p*a[n+1] - a[n] (n≧0)
により定められる数列{a[n]} がある。
n≧0において、次の(a) ～ (c) が成り立つことを示せ。
(a) {a[n+1]}^2 -2p*a[n+1]*a[n] + {a[n]}^2 = 1 - p^2
(b) {a[n+2]}^2 - 2(2p^2-1)*{a[n+1]}^2 + {a[n]}^2 = 2(1-p^2)
(c) a[2n] = 2*{a[n]}^2 - 1
0327１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 00:07:28nについての帰納法により
a[n] = T_n(p),
が成り立つ。 T_n( ) はn次の第一種チェビシェフ多項式。
|p| ≦ 1 のとき a[n] = cos(nω), cos(ω) = p,
|p| ≧ 1 のとき a[n] = σ^n･cosh(nω), cosh(ω) = |p|, σ = Sgn(p),
0328１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 00:34:000329１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 02:46:29(1)Σ[k=r,n]nCk･kCr=nCr･2^(n-r)を示せ
(2)Σ[r=s,n]Σ[k=r,n]nCk･kCr･rCsを計算せよ
(3)作ろうと思ったけど思い浮かばないや
0330１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 13:21:55それは解答になっているのか
0331１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 22:32:36ヒントだな…
0332１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 22:43:23(1)
納r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]} X^r
= 納k=0,r] Ｃ[n,k] {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
= 納k=0,r] Ｃ[n,k] (1+X)^k
= {1+(1+X)}^n
= (2+X)^n
= 納r=0,n] Ｃ[n,r]･2^(n-r) X^r,
(2)
納s=0,n] {Σ[r=s,n]Σ[k=r,n] Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]･Ｃ[r,s]} X^s
= Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] 納r=0,k] Ｃ[k,r] 納s=0,r] Ｃ[r,s] X^s
= 納k=0,n] Ｃ[n,k] Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] (1+X)^r
= 納k=0,n] Ｃ[n,k] [1+(1+X)]^k
= {1+[1+(1+X)]}^n
= (3+X)^n
= 納s=0,n] Ｃ[n,s]･3^(n-s) X^s,
(1') Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r] = Ｃ[n,r](A+1)^(n-r), を示せ。
(略解)
納r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r]} X^r
= 納k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
= 納k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) (1+X)^k
= (A+1+X)^n
= 納r=0,n] Ｃ[n,r](A+1)^(n-r) X^r,
これを応用して (3) を作れ…
0333１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 23:06:26(1)
C[n,k]*C[k,r]=C[n,r]*C[n-r,k-r]より
Σ[k=r,n]C[n,k]*C[k,r]
=Σ[k=r,n]C[n,r]*C[n-r,k-r]
=C[n,r]Σ[k=r,n]C[n-r,k-r]
=C[n,r]*2^(n-r)
0334１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 23:06:530335１３２人目の素数さん
2009/12/23(水) 23:51:00>>287 より、 r = 2sin(2θ) と表わせる（正葉線）ので、
S = ∫[0,2π] (1/2)r^2 dθ
= ∫[0,π/4] 4r^2 dθ
= ∫[0,π/4] 16{sin(2θ)}^2 dθ
= ∫[0,π/4] 8{1 - cos(4θ)} dθ
= [ 8θ - 2sin(4θ) ](0,π/4)
= 2π,
・長さ2の鏡PQを滑らせたときの、原点Oの像の軌跡。
>>288
(左辺) = x^3 +3xy +y^3
= {x^3 -3(-1)xy +y^3 +(-1)^3} +1
= (1/2)(x+y-1){(x-y)^2 +(x+1)^2 +(y+1)^2} + 1,
から n=1 はすぐ分かるが････
0336１３２人目の素数さん
2009/12/24(木) 21:01:37xの2次方程式 x^2 + ax + b = 0 が異なる二つの解をもち、それらが
α, 1-2α と表すことができるとする。
このとき b の取りうる値の範囲を求めよ。
0337335
2009/12/24(木) 21:39:22http://ja.wikipedia.org/wiki/バラ曲線
http://mathworld.wolfram.com/Rose.html
0338１３２人目の素数さん
2009/12/24(木) 22:31:050339１３２人目の素数さん
2009/12/25(金) 20:39:39簡単。すぐ解けた。どこのＦランの問題？ここは東大レベルの問題晒すとこなんだけど？もうちょっと練り直してこい
0340１３２人目の素数さん
2009/12/25(金) 21:21:41ちなみに解答は？ >>339
0341１３２人目の素数さん
2009/12/25(金) 21:44:53確率とかカスみたいなのもあるし
0342１３２人目の素数さん
2009/12/25(金) 23:49:12こちらへどうぞｗ
Fランク大学の数学の入試問題を考える。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/
0343１３２人目の素数さん
2009/12/25(金) 23:59:46(X - α)(X - 1 + 2α) = 0 と書ける。
よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。
ゆえにbの取りうる実数値の範囲は[1/8, ∞)。
さすがに三行で解けるってのはどうよ。
0344１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 00:59:16αが実数であるとは明記されていないけど
0345１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 01:06:16bは任意の実数値を取り得るｗ
0346１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 01:11:52aが実数だから、α+(1-2α)=-aから、αも実数。
0347１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 01:24:53αも実数だよな
0348１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 01:25:560349１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 01:26:000350１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 07:56:30>よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。
0351１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 10:36:00>>325
間違い。
0352１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 10:38:070353１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 10:46:37それは自明だろう。
異なる値がそれぞれα、1-2αと書き表せるんだから、
逆にαと1-2αは異なる値だよな。
0354１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 10:48:12α≠1/3ということですよ。
0355１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 16:33:11これ高校入試で見たことある問題なんだけど
0356１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 20:30:300357１３２人目の素数さん
2009/12/26(土) 23:08:480358１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 01:46:13(A[1]∪A[3]∪A[5])∩B
但しA[k]は中心(cos(kπ/3), sin(kπ/3))で半径1の円の内部
BはTの外部
0359１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 02:04:16そういう切り口は無いのか・・・
十分大きい正の数rをとって
(0,0,0),(r,0,r),(0,r,r),(r,r,0)
を４頂点とする正四面体を考える
a,bを正の数として
O(0,0,0), A(a,0,a), B(0,b,b), C(1,1,0)
とおくと |CA↑|=|CB↑|, (CA↑,CB↑)=0 を同時に満たす
正の数a,bは存在しない事が簡単な計算でわかる
切り口が２頂点を含む場合も多分無理
0360１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 14:53:53その方針で良いと思うけど，p＝0.5{-3±√5}*r ＜ 0 で作れないんでないの？
簡単過ぎかな．
0361１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 19:57:05|x|≦1 ⇒ 0≦Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)＜1
を証明せよ。
0362１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 21:09:15x≧0で中辺≧0
-1≦x＜0では0＜x^2≦1より
Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)
f(n)=x^2-x^2(1-x)/2-x^3(1-x)/3…-x^n(1-x)/n-x^(n+1)/nとして
|x^n(1-x)/n|,|x^(n+1)/n|は単調減少であるから
nが偶数の時
…＞f(6)＞f(4)＞f(2)=x^2/2-x^3/6=x^2(3-x)/6≧0が成り立ち
nが奇数の時
各項＞0よりf(n)＞0で満たす
0363１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 22:07:22a_1 > a_2 > ･･････ > a_k > ･･･ > 0
のとき
|x|≦1 ⇒ 0 ≦ Σ[k=1,n] a_k･x^(k-1) < 0 ≦ Σ[k=1,n] a_k,
(左側: 2項づつまとめる。）
0364１３２人目の素数さん
2009/12/27(日) 22:49:54周の長さがaである弓形において、弦の長さをxとし、面積をSとする。
Sはxの減少関数であることを示せ。
0365１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 09:18:14教科書傍用問題集からなに抜いてんの
0366１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 16:53:07「弓形」は数学用語じゃないから大学入試を作問するときはもちろん
答案に書くときもきちんと考えたほうがいいぞ
0367１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 17:17:030368１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 17:31:33いつかの千葉大医学部の問題まんま載せてんじゃねぇよ
0369１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 17:38:27知らなかったんだけど。
たった今、俺が考えた問題だけど。
答えも出してみたけど、自信はあるよ。
検算したら合ってるみたいだし。
0370１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 17:46:200371１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 18:13:500372１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 22:11:12P(5以下,2以上) = (4/6)^n = (2/3)^n,
P(4以下,2以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
P(5以下,3以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
P(4以下,3以上) = (2/6)^n = (1/3)^n,
∴ P(5,2) = P(5以下,2以上) - P(4以下,2以上) - P(5以下,3以上) + P(4以下,3以上) = (2/3)^n -2(1/2)^n +(1/3)^n
= (2/3)^n -(1/2)^(n-1) +(1/3)^n,
0373１３２人目の素数さん
2009/12/28(月) 22:16:251-(2/3)^n
そのうち、2及び5が出る確率は
1-(2*(3/4)^n-(1/2)^n)
掛けて、答えは
(1-(2/3)^n)(1-2*(3/4)^n+(1/2)^n)
=1-2*(3/4)^n-(2/3)^n+3*(1/2)^n-(1/3)^n
合ってる自信がない。
0374１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 00:58:29解答の棒読み、分からないコトは「次までに自分で調べてごらん」、子供に問題をさせておいて自分はメールのやりとり、
センセー、センセーって持ち上げてるからって、あまり勘違いしないでください
0375１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 04:38:18なんだよ・・・
どっかで喧嘩してるのか？
とりあえずリンク張れ
0376372
2009/12/29(火) 16:20:46n回投げて、1及び6が出ない確率は
(2/3)^n,
･･････
･･････
掛けて、答えは
(2/3)^n･{1 -2*(3/4)^n +(1/2)^n}
= (2/3)^n -2*(1/2)^n + (1/3)^n,
逢ってる地震がある。
0377373
2009/12/29(火) 17:08:160378１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 17:19:450379１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 17:52:091も6もない4面のサイコロ(2～5が出る)をn回振ったときに2、5が出ない確率はそれぞれ
(3/4)^n、(3/4)^n
2も5も出ない確率は
(1/2)^n
故に2も5も出る確率は
1-2(3/4)^n+(1/2)^n
と考えた。
0380373=379
2009/12/29(火) 17:52:51278→378
0381１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 20:13:500382１３２人目の素数さん
2009/12/29(火) 23:23:30y=f(x)が以下のいくつかの条件を満たすための多項式f(x)の必要十分条件を求めよ
①最高次数が二次以下
②y=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
③y=f(x)上の任意の有理数組(x,y)について'xが整数⇔yが整数'を満たす
(1)①と②を満たす
(2)①と③を満たす
-(3)③を満たす
*(4)②を満たす
((3)はおまけ (4)は自分も解けてない)
0383１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 01:25:07ある関数f(x)が存在し、
その関数について
y=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
ならば、かつそのときに限り関数f(x)について
y=e^f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが無理数⇔yが有理数'を満たす
ってのはありか？
0384１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 01:26:340385１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 01:50:09(4)やってみた。間違ってたらゴメン。
f(x)はn次の多項式とする。f(x)の最高次の係数は正としてよい。
n≧2のときは、②を満たすf(x)が存在しないことを示す。
f(x)は②を満たすとする。このとき、簡単な議論によって、
f(x)∈Q[x]でなければならないことが分かる。よって、
ある自然数aとあるg(x)∈Z[x]が存在してf(x)＝g(x)/aと書ける。
fの最高次の係数は正だから、gもそうである。
n≠0であり、なおかつfの最高次の係数は正だから、
実数s＞0が十分大きければ、f(x)＝sは必ず実数解を持つ。
特に、s＝b/a (b∈Z)と置けば、b＞0が十分大きければ
f(x)＝b/aは必ず実数解αを持つ。ところで、b/aは有理数であり、
また、f(x)は②の仮定を満たすのだから、αは有理数でなければ
ならない。これとf(x)＝b/a ⇔ g(x)＝b から、次を得る。
・十分大きな自然数bに対して、g(x)＝bは必ず有理数解を持つ…(*)
0386１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 01:52:13g(x)＝Σ[k＝0～n]g_ix^i とおく。g_n＞0である。簡単な議論により、
g(x)＝b が有理数解x＝q/p (q∈Z,p∈N,gcd(p,q)＝1)を持つためには
p｜g_nかつq｜(g_0－b)でなければならないことが分かる。
そこで、bとして特に(b－g_0)が素数であるようなものを選ぶ。
素数は無限にあるので、このような自然数bも無限にある。このとき、
q｜(g_0－b) からq＝±1,±(g_0－b)が導かれる。すなわち、
有理数解の候補は±1/p,±(g_0－b)/p の4通りに限られる。
これと(*)から、この4つの候補のうち少なくとも1つは
実際に解でなければならない。
x＝1/pまたは－1/pが解のときは、|x|≦1ということになるが、
bを十分大きくすれば、g(x)＝b の有理数解が|x|≦1 には
存在しないようにできる。よって、最初からそのような
bだけを考えることにすれば、x＝±1/pは解になり得ない。
このとき、解の候補は自動的に±(g_0－b)/pの2つに限られる。
x＝(g_0－b)/p が解のときは、g(x)＝bに代入してg((g_0－b)/p)＝b
ということになるが、両辺を((g_0－b)/p)^n で割って
b－g_0：素数，b→＋∞
という極限を取れば、左辺はg_nに収束し(∵lim[x→±∞]g(x)/x^n＝g_n)、
また、n≧2だから右辺は0に収束する(ここでn≧2が効いている)。
よってg_n＝0となるが、これはg_n＞0に矛盾する。
x＝－(g_0－b)/pのときも同様にして矛盾する。
0387１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 02:06:35よって、②を満たすf(x)は定数関数か1次の多項式に限られる。
簡単な議論によって、
f(x)＝ax＋b, a∈Q,b∈Q,a≠0
だけが②を満たすと分かる。
以上より、多項式f(x)が②を満たすための必要十分条件は
「f(x)∈Q[x]かつdeg f(x)＝1」である。
書いてから気づいたけど、
＞有理数解の候補は±1/p,±(g_0－b)/p の4通りに限られる。
ここは語弊があって、正確には「pの取りうる値の個数×4」通りだった。
あと、bによってpの値は変化しうるから、議論の後半でb→＋∞の極限を
取るときには気をつけなくちゃいけなかった。どのみち、p｜g_n から
1≦p≦g_nが出てpは有界になるので、議論に差し支えはないけど。
0388１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 17:15:59xの方程式 x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k の1つの解をαとするとき、
この方程式の他の解をαを用いて表せ。
0389１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 18:25:32x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k
x^2(1-x)+x-(x-1)^2=kx(1-x)
-x^3+3x-1=kx(1-x)
x^3-kx^2+(k-3)x+1=0…①
αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…②と表せる（∵☆）
βについて②を展開すると
x^3-(α+β)x^2+(αβ-1/α)x+1より
αβ-1/α=k-3
k=α+β
弐式より
(α-1)β=(α+1/α-3)これを②に代入して
x^2-(α+1/α-3)x/(1-α)-1/α=0を解く
α(1-α)x^2-(α^2-3α+1)x-(1-α)=0
((1-α)x+1)(αx-(1-α))=0
∴x=1/(α-1),(1-α)/α （∵☆）
0390１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 21:08:380391１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 21:17:14α≠0,1より1-αやαで割ることが可能ってことです
0392１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 21:50:26αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…②と表せる（噤凵j
の詳しい論理をお願いします…。
0393１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 23:04:45まぁ②式を立てるよりか①式をx-αで割る方が早いと思うが
0394１３２人目の素数さん
2009/12/30(水) 23:08:57お手数かけてすみません。
0395１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 00:43:33f(x)=1/(1-x) とおくと f(f(x))=(x-1)/x, f(f(f(x)))=x だから
もとの方程式は x+f(x)+f(f(x))=k と書けて
αがその解なら f(α) も f(f(α)) も解
0396382
2009/12/31(木) 01:36:16なんか大体あってるような気がしたけど
>>386の後半でb→∞にもってくところがちょっと怪しい気がする…
十分大きいbだと十分0に近いg_nになって一応g_n＞0は保たれているんじゃ？
曖昧でごめん
0397１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 01:57:39円D上の動点Qは,Pと同じ向きに、２倍の速さで動く.
円D自体は回転せず、始めO,P,Qは同一直線上にあるとする. 点Qの描く軌跡によって囲まれる面積を求めよ.
0398１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 02:02:340399１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 04:41:39宮廷レベル
0400１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 06:00:420401387
2009/12/31(木) 06:09:27bの値によってg_nが変動することはありえない。
g(x)はf(x)から作られた関数であって、bに依存していない。
つまり、g_nはbに依らない定数。
0402１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 06:14:31f(α) や f(f(α)) が α とは別の解であること
それ以外に解がないこと
をいわないと不十分かと
0403１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 12:26:21a>b>0
を満たす整数(a,b)をすべて求めよ。
0404１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 13:10:58存在しない。
a>b>0より
(a-b)^4>0
a^3-b^3<0
0405１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 13:21:39え？
0406404
2009/12/31(木) 14:12:290407１３２人目の素数さん
2009/12/31(木) 15:36:050408fhaircut
2009/12/31(木) 15:56:34元日と成人の日を祝い ，贈り物を贈りますよ！
かわいい人がたくさん，方法がかんだんですよ~！
ようこそwww.fhaircut.com へ
どうぞよろしくお願いします.
0409１３２人目の素数さん
2010/01/01(金) 16:42:290410１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 02:06:13初期条件をQ(2,0)とすると
↑OP(cosθ,sinθ)
↑PQ(cos2θ,sin2θ)と表せて
↑OQ(cosθ+cos2θ,sinθ+sin2θ)
OQ=rとすると
r^2=(cosθ+cos2θ)^2+(sinθ+sin2θ)^2
=2+2cosθcos2θ+2sinθsin2θ
=2(1+cosθ)
dS=πr(θ)^2*dθ/2π
→S=∫(0→2π)r(θ)^2/2dθ
=∫(1+cosθ)dθ
=[θ+sinθ](0→2π)
=π
あんま自身ない
0411１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 05:49:35・坂本龍馬は日本をいまも破壊しているテロリスト薩長連合の工作員だっただけの者です。
・織田信長の時代から戊辰戦争まで、鉄砲隊のガンパウダーはガンパウダー１樽につき、
日本人の若い娘５０人を海外に売ることで調達していました。
・自殺者３万人(実際は８万とも)は薩長連合が原因です。日本はいまだに武家社会です。
・明治維新テロは薩長連合が海外の貴族やユダヤから金を借り(年利18％)て起こした国家転覆テロ。
・総理大臣、大蔵大臣、外務大臣や公安、警察、自衛隊の歴代トップは鹿児島県、山口県、
高知県、佐賀県、 長崎県出身者ばかりです。 公務員は薩長連合の使用人です。
公務員は国民を支配する道具。国策捜査は薩長連合やアメリカのための捜査です。
・日本経団連の企業は明治以前からの支配階級の関係者が興したものばかり。
・アメリカを代表する洗脳の専門家アーネスト・ヒルガードは戦後来日して
「戦後日本の教育の非軍事化」のために働き、スタンフォード大学からその功績を讃えられます。
鳩山由紀夫もスタンフォード大学卒業です。洗脳はいまも続いています。
・薩長連合は株式会社ゆうちょ銀行の郵便貯金を海外の貴族やユダヤに差し出そうとしている。
・アメリカ財務省証券購入で日本人は毎年アメリカに３０兆円以上差し出している。
・日本人が貯蓄した金が海外にいき、信用創造で1000倍になりそれで日本の土地が買われる。
日本は破産し、ＩＭＦ管理下でも 薩長連合は安泰で国民はＩＭＦに感謝するように洗脳される。
(参考：洗脳支配 苫米地英人 株式会社ビジネス社)
日本の政治家には朝鮮人の疑いのある人たちがいます。安★部、小★泉、菅★、小★沢。
２ちゃんねるはトウ一きょう会が運営してＩＰ集めや、自作自演して洗脳工作する場です。
http://jb★bs.liv★edoor.jp/bbs/read.cgi/news/20★92/11★94947143/
薩長連合は戦争やシベリア抑留で日本人の抵抗勢力を殺したのか。戦争は自国民を殺すためにも使われる。
薩長連合のために警察がインターネット規制をする。来年東京では匿名でネットカフェから情報を発信できなくなる。
情報遮断、ネット情報遮断、ネット検閲は戦後の洗脳と同じやり口。薩長連合は日本人ではない。ｗ
0412１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 11:22:57a-b≠0より
a^2+ab+b^2=(a-b)^3
3(a+b)^2+(a-b)^2=4(a-b)^3
a+b=Lp,a-b=Lqと置換して(Lは、a+bとa-bの最大公約数)
3p^2+q^2=4Lq^3
3p^2=(4Lq-1)q^2…①
この式よりp^2はq^2の倍数である
(証明は略だが両辺の素因数を考えればよい)
∴pはqの倍数でp=kqとおけるがこの時q=1でないと
Lが最大公約数であることに反するためq=1としてよい
①よりq=1から3p^2=4L-1
右辺奇数よりpも奇数でこの時
p^2≡1(mod4)より3p^2+1≡0(mod4)であるからpが奇数なら等式を満たすLが存在。
∴L=(3p^2+1)/4,p奇数であればよい
これよりa+b=pL=p(3p^2+1)/4,a-b=(3p^2+1)/4を解いて
∴a=(p+1)(3p^2+1)/8,b=(p-1)(3p^2+1)/8であればよい
p=2k+1とおけば
a=(k+1)(3k^2+3k+1),b=k(3k^2+3k+1)（kは自然数）として表せる
0413４１２
2010/01/02(土) 11:28:14【問】
nを非負の整数とする。
点P_nは全て単位円上に存在し、任意のnについて以下を満たす。
①P_0(1,0)
②線分P_nP_(n+1)の長さが(1/2)^n
③P_1は第一象限にとり、以降P_nは小弧P_(n-2)P_(n-1)に含まれないようにとる。
この時、n→∞の時のP_nは第何象限に存在するか
0414１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 19:31:06∠P_0･O･P_n = θ_n とおく。
θ_0 = 0,
θ_1 = 2･arcsin(1/2) = π/3,
②，③ より、
θ_n - θ_(n-1) = 2･arcsin{(1/2)^n},
∴ θ_n = Σ[k=1,n] 2･arcsin{(1/2)^k},
ところで
2･(1/2)^k < 2･arcsin{(1/2)^k} < arcsin{(1/2)^(k-1)},
だから、k=2,･････,n を加えて
1 - (1/2)^(n-1) < θ_n - θ_1 < (1/2)θ_(n-1),
n→∞ のとき
1 ≦ θ - θ_1 ≦ (1/2)θ,
1 + θ_1 ≦ θ ≦ 2θ_1,
θ_1 = π/3 を代入して、
2.0471975511965977461542144610932 ≦ θ ≦ 2.0943951023931954923084289221863
∴ 第2象限
（θ = 2.05330687777106････)
0415１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 21:09:50宮廷ハニー
http://www.youtube.com/watch?v=uiweA6MEcHU 03:12
http://www.youtube.com/watch?v=jcJbquLU0wM 03:03
（ライブ）
http://www.youtube.com/watch?v=OiQrVIWQoZo 04:24
http://www.youtube.com/watch?v=gvFjmxMJ5Uw 03:05
http://www.youtube.com/watch?v=DRZe4bLPSBs 02:59
http://www.youtube.com/watch?v=4gtFhpUaYJ0 02:58
（韓国版）
0416１３２人目の素数さん
2010/01/02(土) 23:12:51宮廷ハニーのオリジナル版 前川陽子 (1973) original @ NHK
http://www.youtube.com/watch?v=YqXF0Kt-UNo 00:52
http://www.youtube.com/watch?v=Hp7cm6ZxQTs 01:29
http://www.youtube.com/watch?v=BnzMcQIsPH8 01:27
http://www.youtube.com/watch?v=J30lzbM_S5A 02:14
http://www.youtube.com/watch?v=Vuw9Wmgqj5A 02:17
0417１３２人目の素数さん
2010/01/03(日) 02:38:08点Qは極形式でr=(2cosθ+1）と表されるグラフをx軸方向に１だけ平行移動させたグラフだよな？
囲まれる図形って、どこだ？
0418１３２人目の素数さん
2010/01/03(日) 11:22:10角速度か普通の速度か？Dの半径は？
0419４１０
2010/01/04(月) 00:38:59>点Qは極形式でr=(2cosθ+1）と表されるグラフをx軸方向に１だけ平行移動させたグラフだよな？
なんで？
どっちにしろ囲まれてるし
0420４１０
2010/01/04(月) 00:54:510421１３２人目の素数さん
2010/01/04(月) 10:54:25この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？（さくら教研の宿題）
0422１３２人目の素数さん
2010/01/04(月) 12:31:45黒の線は13k/23、赤の線は13l/34の位置にある。従って、黒と赤の線の間隔は
(13/23*34)*|34k-23l|で書ける。(k=1,2,...22,l=1,2,...33)。
|34k-23l|の最小値は1で、例えば(k,l)=(2,.3)のときである。
従って最短距離は13/(23*34)
0423１３２人目の素数さん
2010/01/04(月) 21:56:10一列に並べる.このとき,以下の条件が満たされる確率をP(n)とおく.
条件：Aと書かれたカードとBと書かれたカードは隣り合わない.
(1) P(5),P(6),P(7)を求めよ.
(2) n・P(n)の値が最大となるような自然数nの値を求めよ.
0424１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 01:30:44この２つの球は互いに重なることはなく、立方体からはみ出すこともない。
このとき、２つの球が通過しうる領域の体積を求めなさい。
0425１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 01:31:24この２つの球は互いに重なることはなく、立方体からはみ出すこともない。
このとき、２つの球が通過しうる領域の体積を求めなさい。
0426１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 19:27:25アク禁だったんで亀レスだけど
f(x)が多項式という条件を連続関数に緩めると，②を満たす関数はどうなるんだろう？
初等関数で表現できるものとしては f(x)＝ax＋b 以外では
f(x)＝1/(ax＋b ) とかいったものしか思いつかない．これを多少工夫すれば，C^1(R) には出来る．
しかし，実数全体で定義された解析関数としては， f(x)＝ax＋b しかないような気もする．．．
0427１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 19:48:52は直線になる場合もあるね。
でもどうやって証明するんだ労？
0428１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 20:26:460429１３２人目の素数さん
2010/01/06(水) 21:01:200430１３２人目の素数さん
2010/01/07(木) 21:27:50(1)Pをz軸のまわりに1回転してできる立体Qの体積を求めよ。
(2)Qをy軸のまわりに1回転してできる立体Rの体積を求めよ。
0431１３２人目の素数さん
2010/01/07(木) 22:48:452次正方行列Bで B^3 = A を満たすものが存在することを示せ。
0432ｋｗｓｋ
2010/01/08(金) 23:04:56（１）これらを任意の枚数ひくとき、ひき方をAn通りとする。Anを求めよ。
（２）n→∞のとき、An+１/Anはいくらか。
0433１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 23:30:29nC0+nC1+…+nCn=2^nで
An+1/A_n=2ってことか？
0434１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 23:30:43(2-√2)πa^3
0435１３２人目の素数さん
2010/01/08(金) 23:35:10って考えると2^nがすぐ出る
0436１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 01:55:04（２）立方体の各面を異なる５色すべてを用いて塗る方法は何通りか。
ただし、（１）（２）において、一方を回転して他方と同じになる２つの
塗り方は同じであるとみなす。
0437１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 02:51:00この立方体の内部を、全て大きさの異なる立方体で、埋め尽くすことは可能か。
なお、立方体同士で隙間を作っていけない。また、ＡＢＣＤ－ＰＱＲＳの外部にはみ出してはいけない。
0438１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 05:38:14こまかいけど、aが-のときへんになる
0440１３２人目の素数さん
2010/01/09(土) 23:09:010441436
2010/01/09(土) 23:43:45立方体ＡＢＣＤ－ＰＱＲＳ と同じ形の立方体を１つ、で埋められる。。。。ミスった。
ってことで、複数個、という条件追加。
>>440
あれ、できる？
0442>>437=>>439=>>441≠>>436
2010/01/09(土) 23:45:45>>437=>>439=>>441≠>>436
0443１３２人目の素数さん
2010/01/10(日) 03:33:10不可能
(解説)
山下純一: 『立方体のある分割について』
数セミ増刊「数学の問題 第②集」, p.185, 付録10, (1978.5)
0444１３２人目の素数さん
2010/01/10(日) 03:46:06数セミ, 1968年8月号, NOTE欄の再録らしい。（投稿）
背理法（無限降下法？）による。
0445１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 00:00:40xが有理数のとき f(x) が有理数
xが無理数のとき f(x) が無理数
を満たす連続関数は、f(x)＝ax＋b、f(x)＝(px＋q)/(rx＋s) および
これらを繋ぎあわせたもの以外にあるかと言う事だよね？
さてどうだろうか。ないとしたら証明方法が思いつかない。
0446１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 14:35:04似てる気がする。
0447１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 17:21:480448１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 20:06:12f(x)=|x|
0449１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 21:46:58ドコにレス？
0450１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 22:09:36話の流れを全く読んでないのであれだが、
xが有理数のとき f(x) が有理数
xが無理数のとき f(x) が無理数
を満たす連続関数は、f(x)＝ax＋b、f(x)＝(px＋q)/(rx＋s) および
これらを繋ぎあわせたもの以外にあるかと言う事だよね？
f(x)=|x|でよくね？ってこと。違ったらごめん。
そもそも、繋ぎ合わせたものって何よ？
0451１３２人目の素数さん
2010/01/11(月) 22:14:430452１３２人目の素数さん
2010/01/12(火) 16:51:350453１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 17:49:11線分LM，MN，NLに沿って三角形を折り曲げ四面体を作る。その際，線分BLとCL，CMとAM，ANとBNはそれぞれ同一視される。
このとき,完成した四面体に内接する球の半径の最大値を求めよ。
0454１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 17:53:08大きいものをα，小さいものをβとする。
[x]はxを超えない最大の整数とする。正の整数nに対して，
X_n=[α^n]
とおく。X_nが偶数となるようなnは存在しないことを示せ。
0455１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 18:29:56誰か分かる人いませんか？
0456１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 20:24:28パクリっぽいし簡単。
0457１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 20:48:01題意より α = 2+√3, β = 2-√3,
α+β = 4, αβ=1,
α^(n+1) + β^(n+1) = (α+β)*(α^n + β^n) - αβ{α^(n-1) + β^(n-1)}
= 4*(α^n + β^n) - {α^(n-1) + β^(n-1)},
∴ 4 | (α^n + β^n) = 4M,
X_n = [ α^n ] = [ 4M - β^n ] = 4M -1 = (奇数).
0458457
2010/01/14(木) 20:56:48∴ 2 | (α^n + β^n) = 2M,
X_n = [ α^n ] = [ 2M - β^n ] = 2M -1 = (奇数).
0459１３２人目の素数さん
2010/01/14(木) 23:23:23Proof. 解と係数の関係からα^n+β^nが偶数であることは容易に分かる。
|β^n|＜|β|＜1よりα^nの整数部分は奇数となる。 □
みたいな書き方したら何点来るんだろう。
これでも数学の証明としては丁寧過ぎるくらいだけど。
0460１３２人目の素数さん
2010/01/15(金) 00:36:21入試ではそのようなものは期待していない
0461１３２人目の素数さん
2010/01/15(金) 23:00:020462１３２人目の素数さん
2010/01/16(土) 06:32:06この問題で言えば、「α^n+β^nが偶数」 の部分は自明扱いはできない。
0463１３２人目の素数さん
2010/01/16(土) 11:20:30そもそも大学のゼミでもこんな証明してたら突っ込まれるだろうに
0464１３２人目の素数さん
2010/01/16(土) 12:59:56帰納法を省略するにしても、「帰納的に明らかに．．．」の文言が
ないと俺なら減点する。
0465１３２人目の素数さん
2010/01/16(土) 13:12:200466猫は淫獣 ◆ghclfYsc82
2010/01/17(日) 16:24:08★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
★★★「小沢氏は主張を通して検察に対して徹底的に対抗すべし」★★★
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小沢先生、頑張って下さい。私は最後まで味方になります。
猫
0467１３２人目の素数さん
2010/01/17(日) 16:51:46「親が資産家だからｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ」とか笑わせるよなｗ
40代にもなって親の自慢ってｗ
自分の稼ぎじゃなく親の経済力の自慢
じゃあなんで実家暮らし独男なの？ｗ
0468１３２人目の素数さん
2010/01/21(木) 19:14:52このとき,｜p-x｜の値はいくらでも小さくできることを示せ。
0469１３２人目の素数さん
2010/01/21(木) 19:21:270470１３２人目の素数さん
2010/01/21(木) 20:16:26x - (1/N)を考えれば良いんだがアルキメデスの原理は使って良いんだろうか。
証明しろと言われても実数の定義がない以上証明しようがないが。
0471１３２人目の素数さん
2010/01/22(金) 01:04:23マイナスにはならない
0472１３２人目の素数さん
2010/01/22(金) 11:56:280473１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 06:14:540474１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 06:21:450475１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 06:53:21！！ブラクラ注意！！
0476１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 07:56:45(2^n+1)/n^2が整数となるような自然数nに対して、π/nを求めよ。
0477１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 15:10:41n=1 だから π.
0478１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 21:01:01X={nは自然数|x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する}
と定義する。Xの要素の最大値があれば答えよ。
0479１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 21:02:240480１３２人目の素数さん
2010/01/23(土) 22:07:170481いやー、
2010/01/24(日) 11:24:050482１３２人目の素数さん
2010/01/24(日) 20:20:250483１３２人目の素数さん
2010/01/24(日) 22:28:120484１３２人目の素数さん
2010/01/25(月) 00:36:320485１３２人目の素数さん
2010/01/25(月) 00:43:25x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する
nの最小値は存在するか？
0486１３２人目の素数さん
2010/01/25(月) 00:44:07x^n+y^n=z^nを満たす0でない整数の組み(x,y,z)が存在する
nの最小値は存在するか？
0487１３２人目の素数さん
2010/01/28(木) 00:19:31n = -2,
(a,b,c) を直角三角形の辺長とし、x=bc, y=ca, z=ab とおくと
x^(-2) + y^(-2) - z^(-2) = (a^2 +b^2 -c^2)/(abc)^2 = 0,
もし n ≦ -3 に対して成立すれば
(yz)^(-n) + (zx)^(-n) - (xy)^(-n) = (x^n + y^n - z^n)･(xyz)^(-n) = 0,
が成り立つ。これはフェルマーの最終定理に反する。
0488１３２人目の素数さん
2010/01/30(土) 09:28:18誰かおいらに安心してセクキャバに行ける様にして下さい．
0489Fermat－Wiles
2010/01/30(土) 19:13:18それを満たす整数nは {±1, ±2} の4つしかないお。
>>488
安心しなくてもいいお。
0490１３２人目の素数さん
2010/01/31(日) 15:03:43また、円Ａ、円Ｂ、円Ｃは、どの２つの円同士も、外接している。
円Ａ、円Ｂ、円Ｃの中心をそれぞれ点Ｐ，点Ｑ，点Ｒとするとき、
△ＰＱＲの面積の取り得る値の範囲を求めよ。
0491１３２人目の素数さん
2010/02/01(月) 12:49:390492１３２人目の素数さん
2010/02/02(火) 00:28:17x-[x] の2進表記を文字列と見て左から次のように変換する
0 → 0
10 → 1
11 → 2
こうして出来た文字列を3進数と見たものを g(x) とする
例)
g( (0.000111000111000111000…)_2 )
= (0.000210021002100…)_3
f(x) ≡ [x] + g(x)
と定義すれば、f(x) は以下を満たす
・単調増加、連続、任意の点で微分不可能
・x が有理数 ⇔ f(x) が有理数
0493488
2010/02/03(水) 10:27:46>>492
任意の点で微分不可能が未だよく分かりませんが、感動しました！
区間 [0，1] で構成して後は周期的に拡張ですよね。
どうやってこの方法を思いついたんですか？
高木関数を連想しました。
これで安心してセクキャバに行けます！
0494１３２人目の素数さん
2010/02/06(土) 21:35:480495１３２人目の素数さん
2010/02/07(日) 01:16:53もしほんとに、回答の中で「フェルマーの最終定理に反する」って書いたら大幅減点されますでしょうか？
問題でしょうか？
by来年度受ける人
0496１３２人目の素数さん
2010/02/07(日) 01:41:580498１３２人目の素数さん
2010/02/07(日) 17:46:57もしそれ書いて減点になるのなら、
A.ワイルズ氏が「説明するだけで」3日間掛かったあの証明を書けと言ってる事になるんだがな。
0499１３２人目の素数さん
2010/02/07(日) 18:14:06いや、ちょー簡単な証明法が発見されたのかもしれん
0500１３２人目の素数さん
2010/02/07(日) 19:58:26そもそも、そんな問題出るわけないんだから考えるだけ無駄だと思うよ。
0501１３２人目の素数さん
2010/02/08(月) 08:36:50lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k)－sin(k-1) }
0502501
2010/02/08(月) 11:27:58○ lim[n→∞]Σ[k=1，n]cos(k/n) { sin(k)－sin((k-1)/n) }
0503１３２人目の素数さん
2010/02/08(月) 11:29:17だった．．．orz
お詫びに http://xvideos.com/tags/japanese
0504１３２人目の素数さん
2010/02/09(火) 00:05:27cos(k/n) {sin(k/n) - sin((k-1)/n)}
= cos(k/n) 2cos((k - 1/2)/n) sin(1/2n)
= {cos((2k - 1/2)/n) + cos(1/2n)} sin(1/2n)
= {cos((2k - 1/2)/n) sin(1/n)}/{2cos(1/2n)} + (1/2)sin(1/n)
= {sin((2k + 1/2)/n) - sin((2k - 3/2)/n)}/{4cos(1/2n)} + (1/2)sin(1/n),
Σ[k=1,n] ････ = {sin(2 + 1/2n) - sin(1/2n)}/{4cos(1/2n)} + (n/2)sin(1/n)
→ sin(2)/4 + 1/2, (n→∞)
0505１３２人目の素数さん
2010/02/09(火) 02:26:16積分を使えれば･････
平均値の定理より
sin(k/n) - sin((k-1)/n) = ∫[(k-1)/n, k/n] cosθ dθ = (1/n)cos(ξ_k),
ここに (k-1)/n ≦ ξ_k ≦ k/n,
x_k = k/n, ⊿x = 1/n とおけば
x_(k-1) ≦ ξ_k ≦ x_k,
∴ (与式) = lim[n→∞) 納k=1,n] cos(x_k) cos(ξ_k) ⊿x
= ∫[0,1] cos(x)^2 dx
= ∫[0,1] {cos(2x) + 1}/2 dx
= [ sin(2x)/4 + x/2 ](x=0→1)
= sin(2)/4 + 1/2,
0506１３２人目の素数さん
2010/02/09(火) 08:56:39素晴らしい！
0507１３２人目の素数さん
2010/02/09(火) 22:22:43http://mathworld.wolfram.com/OuterSoddyCircle.html
を読んで考えよう。
△PQR の面積 ⊿
外接円の半径 R'
0508１３２人目の素数さん
2010/02/10(水) 00:14:06１２３
４５６
７８９
の順に記していく。このとき、
○○
○○
●●
●●
のような、
2×2以上の正方形の形ができる確率はいくらか。
但し、格子から2つ以上の正方形を取ることはできない。
だめな例
○○○ ●●○
○○○ ●●●
●●● ●●●
0509１３２人目の素数さん
2010/02/10(水) 02:13:34補足
○○○
○○●
○●●
のような場合はOK
×但し、格子から２つ以上の正方形を取ることはできない。
○但し、2×2の正方形が格子から２つまたは３つの正方形が取れる場合は除く。
0510１３２人目の素数さん
2010/02/10(水) 08:38:20このとき f(t，x) が 0≦t≦1，x≧0 において上に有界となる
a，p の必要十分条件を求めよ．
※ 0≦t≦1，x≧0 において上に有界とは，ある実数 M が存在して，
0≦t≦1，x≧0 で常に f(t，x)≦M が成り立つことである．
0511１３２人目の素数さん
2010/02/11(木) 20:29:17f(t,x) = -(tx) + t^(a-p)･(tx)^p,
より
0 ≦ p ≦ 1 かつ 0 ≦ a-p,
・0 ≦ p < 1 のとき
f(t,x) ≦ f(t,[p･t^(a-1)]^{1/(p-1)})
= (1-p)･p^{p/(1-p)}･t^{(a-p)/(1-p)}
≦ (1-p)･p^{p/(1-p)} = M,
・p=1 のとき
f(t,x) = (-t + t^a)x ≦ 0 = M,
0512１３２人目の素数さん
2010/02/12(金) 15:44:33素晴らしい攻撃だ、タケちゃん万
0513１３２人目の素数さん
2010/02/13(土) 12:47:49この四面体の面をなす4つの三角形について、それらの重心がすべてOを中心とする同一球面上にあるとき、
それら4つの三角形はすべて合同であることを示せ。
0514１３２人目の素数さん
2010/02/13(土) 18:42:49まず2×2の白正方形の場合。回転対称性から、
○○●
○○●
●●●
○○○
○○●
●●●
○○●
○○●
○●●
○○○
○○●
○●●
の４つの確率の和を４倍したものが白正方形の確率であり、その値は、
4*4*(1/2)^9 =16*(1/2)^9
黒の場合も同様で、16*(1/2)^9
3×3の正方形が出来る確率は、白黒2通り合わせて2*(1/2)^9
以上から、求める確率は (16+16+2)*(1/2)^9 =17/256
0515１３２人目の素数さん
2010/02/13(土) 19:12:43四面体の各頂点をA,B,C,Dとし、OA=OB=OC=OD=rとする。
また、vector(OX)=x (X=A,B,C,D。xはその小文字)と略記する。
a+b+c+d =sする。
四面体の各面の重心が同一球面上にあるから、
|(s-a)/3| =|(s-b)/3|=|(s-c)/3|=|(s-d)/3|
⇔(4式のうちから2式を比較していって)
s・vector(AB)=0,s・vector(AC)=0,s・vector(AD)=0,
s・vector(BC)=0,s・vector(BD)=0,s・vector(CD)=0
ここでs≠(零ベクトル)とすると、上式から、
vector(AB)⊥s,vector(AC)⊥s。よって(平面ABC)⊥s,
またvector(AD)⊥sより(平面ABD)⊥s
以上から(平面ABC)//(平面ABD)となるが、これは四面体の存在と矛盾する。
0516１３２人目の素数さん
2010/02/13(土) 19:15:18よってs=(零ベクトル)
このときd=-(a+b+c)である。
a・b +b・c +c・a=tと置く。|a|=|b|=|c|=|d|=rであるから、上式を2乗すると、
t=-r^2
である。
AD=BC
⇔|-(a+b+c)-a|=|c-b|
⇔t=-r^2
であるから、AD=BCで、同様にしてAB=CD,AC=BDも成立する。
これらにより、四面体の各面は合同(三辺相等)
題意は示された。
拙い解法で申し訳ない。
球面が各面に接する場合は、重心が外心に一致するから各面が正三角形になって、
四面体は正四面体というのがすぐにわかってしまうな・・・
0517１３２人目の素数さん
2010/02/14(日) 04:25:07N → ∞のときに p_N が収束することを示しその値を求めよ。
こんなアホな問題でも入試問題としては機能するんだろうな
0518１３２人目の素数さん
2010/02/14(日) 10:48:09p_N=(N-1/N)^N =[{1+(-1/N)}^(-N)]^(-1)
→e^(-1)
(N→∞)
東北の過去問に、eに収束させるもうちょい長いのがあった気がする
0519１３２人目の素数さん
2010/02/16(火) 03:06:27４つの放物線があり、
P：y=x＾2
Q：x=y＾2
R：y=-x＾2
S：x=-y＾2
とする、これら４つの放物線で囲まれる領域をD（境界線総べて含む）
また、Dの内部に四角形ABCDがある。
四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。
って、カンタンかな？
0521１３２人目の素数さん
2010/02/16(火) 03:40:33長軸がaで、短軸がbの楕円Ｅがある。上記の２つの折れ線によってはさまれた幅１の部分を道Ｄと読ぶ。（折れ線部も含む）
楕円Eが、道をはみ出すことなく、道のを通り抜けることができるような、a,bの条件を求めよ。
0522１３２人目の素数さん
2010/02/16(火) 03:51:15弦AB+弦BC+弦CD+弦DE+弦EF+弦FAの長さをＬとする。Ｌの取り得る値の範囲を求めよ。
0523１３２人目の素数さん
2010/02/16(火) 04:07:000524>>519-523
2010/02/16(火) 04:08:030525523
2010/02/16(火) 04:23:28あ、ぼけてた・・・。
訂正。
自然数a,b,cについて、(abc)＾2010 を８で割ったときのあまりが1であるときの、a,b,cの条件を求めよ。
0526525
2010/02/16(火) 04:41:54任意の自然数a,b,cについて(abc)＾2010を８で割ったあまりとして、ありえないのは、
0,1,2,3,4,5,6,7のうちどれか。
0527１３２人目の素数さん
2010/02/16(火) 08:03:10些細なことだが、問題文は
「余りとしてありうる数をすべて求めよ」のほうが普通だろ。
「・・・ありえないのは、0,1,2,3,4,5,6,7のうちどれか」なんて問題文は美しくなさすぐる。
0528526
2010/02/16(火) 08:37:10あまりとして負の数も含める流儀もあるでしょ。
（って、計算機よりの数学だけ？）
だから、ねんのため「0,1,2,3,4,5,6,7」って書いた。
あと、「ありうる」ってかくより「ありえない」って書く方が、少しだけむづいかなと。
「ありうる」だと、ちょとヒントを連想させてしまうので。じつは。
0529１３２人目の素数さん
2010/02/17(水) 18:31:04数列a_nを次のように定める。a_nの一般項を求めよ.
a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) / (a_n)^2+(a_(n-1))^2-(a_n)(a_(n-1)) = 1-(1/2)^(n+2)
0530１３２人目の素数さん
2010/02/17(水) 18:50:40a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) /｛(a_n)-(a_(n-1))｝＝2^(k+2)-1
0531１３２人目の素数さん
2010/02/17(水) 18:52:32a_0=1
0<a_n<1
(a_n)(a_(n-1)) /｛(a_n)-(a_(n-1))｝^2＝2^(k+2)-1
0532１３２人目の素数さん
2010/02/17(水) 18:55:51>>529-530、最初のはなんで訂正したの？
0533>>532
2010/02/17(水) 19:15:45どっちも同じ式だな。単に式変形進めただけか
0534１３２人目の素数さん
2010/02/17(水) 19:39:06はい。kでなくてnです。何度もすいません
0535>>519-525
2010/02/17(水) 22:10:08ちなみに、厳密に解いてないものも中にあります・・・
あと、
>>526 の問題が非常にトリッキーというかナンセンスだということに気づいた。。。
「任意の自然数a,b,cについて(abc)＾2010を・・・」
ってことは、
「任意の自然数nについて(n*n*n)＾2010を・・・」
とおなじだものな。。。
条件なにか追加すれば、少しは有意義になるだろうけど。
0536１３２人目の素数さん
2010/02/18(木) 01:02:15(i)直線Lは正三角形Eの重心を通る。
(ii)直線Lによって正三角形Eは2つの多角形に分割されるが、その2つの多角形の面積は等しい。
このとき、直線Lは正三角形Eのある頂点を通ることを示せ。
0537１３２人目の素数さん
2010/02/18(木) 01:51:050538１３２人目の素数さん
2010/02/18(木) 02:17:590539>>525-526
2010/02/18(木) 02:25:10焼き直し。
//-----------------------------------------------------------
自然数a,b,cについて、a=b+cがなりたつ。
(abc)＾2010 を８で割ったときのあまり（※）として取り得る値を求めよ。
なお、負の余りは考えないものとする。
0540519
2010/02/18(木) 02:27:42そこで、結構やきなおした問題を、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1236874577
にかいてみました。
よろしければ是非。
0541１３２人目の素数さん
2010/02/18(木) 02:42:08角AOB = 2t_1、角BOC = 2t_2 などとおけば
L/2 = sin(t_1) + sin(t_2) + sin(t_3) + sin(t_4) + sin(t_5) + sin(t_6)
但し t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + t_6 = π、t_i ＞ 0 と書くことが出来る。
ここで曲線 y = sin x 上の6点
(t_1, sin(t_1) ), ........., (t_6, sin(t_6) )
の（為す6角形の）重心を G とおくと G の座標は G(π/6, L/12)となる。
[0, π]の範囲で y = sin x は上に凸だから G はグラフの下にある。
故にL/12 ≦ sin(π/6) つまり L ≦ 6であり、等号は t_i が全て相等しい時に成り立つ。
0 ＜ L であり、 t_i のいずれかが 2π に充分近ければ |L| は充分小さくなる。
L は t_i たちの連続関数の値だから中間値の定理よりその値域は (0, 6) の全てにわたる。
よって L の値の範囲は (0, 6]
高校では中間値の定理は習わなかったと記憶しているけど
この部分はうまく高校の知識で処理出来ない気がする。
でも中間値の定理使って良いなら
L の最大値の存在も自明だとして
L が最大 → t_1 = t_2 etc., → L = 6
で良い気がするしなあ、、うーん、、
0542１３２人目の素数さん
2010/02/19(金) 00:05:01リンクをたどっていくと、３４のウェブプログラマとか東大文学部中退とかセックス依存症とかいろいろわかるが。
もちろんそれをわかっていてリンクをはっているんだろうな。
0543１３２人目の素数さん
2010/02/19(金) 09:54:120544522
2010/02/20(土) 05:26:21＞高校では中間値の定理は習わなかったと記憶しているけど
あ、そうなの？自分の時代（けっこう前）は、やったようなきが・・・。最近の話？
でも、補題として中間値の定理をしめしとけばｏｋだよね？
しかし、そーいう解き方は想定してなかった。。。
0545１３２人目の素数さん
2010/02/20(土) 11:40:340546１３２人目の素数さん
2010/02/20(土) 12:04:580547１３２人目の素数さん
2010/02/20(土) 15:22:01得意の ｢～成り立つことが知られている｣ とか書いているのでは。
0548１３２人目の素数さん
2010/02/20(土) 20:59:43これらのカードを無作為に並べ、カードに書かれている数の列を左からa(1)、a(2)、a(3)、・・a(2n)と定める。
a(k)≧(k+1)となる最小の値kをXとする。
1≦m＜nを満たす整数mが存在すると考えると、X≧mとなる確率を求めよ。
簡単だったかすまん
0549１３２人目の素数さん
2010/02/20(土) 21:46:18って意味不明なんだが。そう考えない場合は確率が変わると言いたいのか？
>>508にしてもそうなんだけどもうちょっと
問題の文章の表現の仕方を考え直した方が良い。
それにX って存在しないこともあるよね。
その場合どうするの？
0550１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 15:20:27lim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0，
lim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0
ならば，
lim[n→∞] a_n＝0，lim[n→∞] b_n＝0，lim[n→∞] c_n＝0
を示せ．
大学の知識を使えば瞬殺なので高校範囲でお願いします．
0551１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 15:33:33lim[n→∞] a_n＝xと置くと、lim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0より
lim[n→∞] b_n＝0又はlim[n→∞] c_n＝0
lim[n→∞] b_n=0と仮定するとlim[n→∞] (a_n＋b_n＋c_n)＝0より
lim[n→∞] c_n=-x。これはlim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0と矛盾。
lim[n→∞] c_n=0と仮定するとlim[n→∞] (a_n＋b_n＋c_n)＝0より
lim[n→∞] b_n=-x。これはlim[n→∞] (a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n)＝0と矛盾。
背理法より
lim[n→∞] a_n=0
以下同様に
lim[n→∞] b_n＝0、lim[n→∞] c_n＝0
では駄目なの？
0552１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 16:22:44１行目から怪しいが，２行目でアウト。
a_n の収束性を仮定している。
それを許しても２～３行目でアウト。
0553１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 17:09:55B_n := a_n･b_n＋b_n･c_n＋c_n･a_n
C_n := a_n･b_n･c_n
とおく。（以下適宜添え字を省略する。）
a，b，cは x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 の解となる。
|x^3 - Ax^2 + Bx - C|
≧ |x^3| - |Ax^2| - |Bx| - |C|
となる。ε≧|A|，|B|，|C|のとき
|x^3| - |Ax^2| - |Bx| - |C|
≧|x^3| - ε(|x^2| + |x| + 1)
εが充分小さい（例えばε＜1の）とき|x|＜1でなければならない。
このとき
|x^3| - ε(|x^2| + |x| + 1)
≧|x^3| - 3ε
つまり0 ≧ |x^3| - 3εだから 3ε ≧ |x^3| となる。
A，B，C → 0のときε:= max{A, B, C}→0とすることができて
このとき x^3 - Ax^2 + Bx - C = 0 の解 x に対して
|x|^3→0だからa，b，c→0でなければならない。
0554１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 19:26:21次の定理集(1)～(4)を認めれば解ける。
定理集：
(1) lim[n→∞]x_n＝x, lim[n→∞]y_n＝y ならば、
任意の実数λ,μに対してlim[n→∞](λx_n＋μy_n)＝λx＋μy
(2) lim[n→∞]x_n＝x, lim[n→∞]y_n＝y ならばlim[n→∞]x_n・y_n＝xy
(3) a_n≦b_n≦c_n, lim[n→∞]a_n＝lim[n→∞]c_n＝x ならば、
lim[n→∞]b_n＝x (ハサミウチの原理)
(4) lim[n→∞](x_n)^2＝0ならばlim[n→∞]x_n＝0
>>550の証明：
(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2＝(a_n＋b_n＋c_n)^2－2(a_nb_n＋b_nc_n＋c_na_n)
だから、定理集の(1)(2)より、im[n→∞]{(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2)}＝0^2－2*0＝0
となる。 0≦(a_n)^2≦(a_n)^2＋(b_n)^2＋(c_n)^2 だから、定理集の(3)より
lim[n→∞](a_n)^2＝0となる。これと定理集の(4)より、lim[n→∞]a_n＝0 を得る。
b_n, c_nも同様。(なんかlim[n→∞] a_n･b_n･c_n＝0 を使う必要が無かったのだが……)
0555１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 19:56:100556１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 20:05:32勝手に実数値の数列だと思ってたわ。
やり直して来よう……
0557１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 21:10:30東大や京大はどちらにでも読めるような問題文にはしないはず。
ただ大学によっては、受験生が当然実数だと思って問題を解いたら
問題文にはそんなことは書いていない、ということで零点にした
酷い大学があったとかいう話を安田亨のブルーバックスで見た気がする。
0558１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 22:10:42虚数解を考えずに実数解だけ答えたのであれば部分点はそれなりにあるだろう。
0559１３２人目の素数さん
2010/02/23(火) 22:47:40収束列の有界性を使っている
範囲外
0560556
2010/02/24(水) 00:09:36あと、やり方がゴリ押し。
ということで、俺も>>553の方針に鞍替えする(＾o＾)
An＝an＋bn＋cn
Bn＝an･bn＋bn･cn＋cn･an
Cn＝an･bn･cn
と置く。まずはlim[n→∞]an＝0を示す。
解と係数の関係から(あるいは直接計算から)
(an)^3－An･(an)^2＋Bn･an－Cn＝0 という等式が成り立つから、
これを変形して(an)^3＝An･(an)^2－Bn･an＋Cn となり、
｜an｜^3＝｜An(an)^2－Bn･an＋Cn｜
. ≦｜An｜｜an｜^2＋｜Bn｜｜an｜＋｜Cn｜
. ≦ (｜An｜＋｜Bn｜＋｜Cn｜)(｜an｜^2＋｜an｜＋1)
となる。この不等式全体を(｜an｜^2＋｜an｜＋1)＞0 で割って、
｜an｜^3/(｜an｜^2＋｜an｜＋1)≦｜An｜＋｜Bn｜＋｜Cn｜ …(*)
となる。ここで、x≧0に対してf(x)＝(x^3＋1)/(x^2＋x＋1)とおくと、微分して
増減を調べることにより、ある点t≧0においてf(x)は最小値f(t)＞0を取ることが
分かる。このときf(t)≦f(x) (∀x≧0) となるから、この不等式の両辺に
x^3/{f(t)(x^3＋1)} (x≧0)をかけてx^3/(x^3＋1)≦{1/f(t)}･x^3/(x^2＋x＋1) (x≧0)
を得る。これにx＝|an|を代入して、(*)とハサミウチの原理を使うと
lim[n→∞]｜an｜^3/(｜an｜^3＋1)＝0
となる。そこで、dn＝｜an｜^3/(｜an｜^3＋1) とおけば、明らかに0≦dn＜1であり、
また、lim[n→∞]dn＝0である。さらに|an|^3＝dn/(1－dn) となるので、
lim[n→∞]|an|^3＝0となり、よってlim[n→∞]an＝0 となる。bn, cnも同様にする。
0561１３２人目の素数さん
2010/02/24(水) 06:43:38その方針だったら
｜an｜^3/(｜an｜^2＋｜an｜＋1)≧｜an｜^3/(｜an｜＋1)^3＝｛｜an｜/(｜an｜＋1)｝^3
でいいんでないの？
0562１３２人目の素数さん
2010/02/24(水) 09:16:22正20面体を平面で切断してできる切り口はn角形となるが、
nの最大値はいくらか。
0563１３２人目の素数さん
2010/02/24(水) 10:30:342点MとNを通る平面は四面体ABCDを二等分することを示せ。
0564１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 02:18:16その方針だったら
任意のε>0 に対し、
n > N ⇒ |A_n| < ε, |B_n| < ε^2, |C_n| < ε^3,
となる自然数 N が存在する。
下の補題 により、
|a_n| ≦ 2ε, |b_n| ≦ 2ε, |c_n| ≦ 2ε,
〔補題426〕
複素係数の1変数代数方程式
z^m + 納j=1,m] a(j) z^(m-j) = 0,
の根は |z| ≦ 2･max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} を満たす．
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426
不等式スレ４
0565１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 02:23:14〔補題426〕の略証
Max{ |a(j)|^(1/j) ; j=1,2,････,m} = M とおくと
0 = -|z|^m + |Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j) |
≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
≦ -|z|^m + Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
= (2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-1-j)} - M^m
≦ (2M-|z|){Σ[j=1,m-1] M^j |z|^(m-j)},
いま {･････} > 0 だから
|z| ≦ 2M. (終)
ぬるぽ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/426-431
不等式スレ４
0566１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 07:03:04(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 16(a+b+c)
となることを示せ。
0567１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 08:40:10ヘロンの公式よりS=(a+b+c)=\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}/4より両辺を2乗して題意が示される。
ヘロンの公式自体の証明は余弦定理より出来るがry＜略＞。
0568１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 16:45:06m次多項式の零点は係数の 1/m ヘルダー連続となる証明ですね。
元ネタはこれでしょう。
偏微分方程式入門 金子 晃 に書かれてあった記憶がある。
0569１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 20:47:24http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/index.html
0570１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 21:31:540571１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 21:48:27http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=1&y=2010&n=1
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=2&y=2010&n=2
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=3&y=2010&n=3
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=4&y=2010&n=4
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=5&y=2010&n=5
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&v4=6&y=2010&n=6
文科
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=1&y=2010&n=0_1
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=2&y=2010&n=0_2
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=3&y=2010&n=0_3
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=2010&v3=1&v4=4&y=2010&n=5
0572１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 21:51:37解けない、と自己申告しているのですね。
0573１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 22:33:210574１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 22:49:51abcが偶数なら余りは0
abcが奇数なら余りは1
>>539
a=b+c なら abc は偶数
0575べ
2010/02/25(木) 23:06:06書いて辱めたいだけだろｗ
0576１３２人目の素数さん
2010/02/25(木) 23:14:25数学から離れて10数年立つが、
どれも意外と簡単だった。
（文系は見てない）
0577１３２人目の素数さん
2010/02/26(金) 22:27:16半径2の円に外接する三角形の三辺の長さをa,b,cとする。このとき
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 16(a+b+c),
となることを示せ。
0578１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 00:27:59正解です。
>>577
半径2の円に外接する時とたしかに同じですね。助言ありがとうございます。
0579１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 09:50:06漏れは、第二問と第四問は気持ちよく解けたが、あとは苦戦気味ですた。
B***
B**
B***
B**
C****
C***
0580１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 11:45:47しらん。
0581１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 12:07:57３完しかできなかったが、ここそんなに難しかったか？
ttp://220.213.237.148/sokuho/data/2010/0y/m02/m0y102001m0.pdf
0582１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 15:05:371、3は頻出問題。4は96年の東大の問題のパクリ。5はちょっと難しい。2はやってない。
難易度は1B 2? 3B 4C 5Cくらいだと思うよ。
0583１３２人目の素数さん
2010/02/27(土) 17:05:08むしろ3番で一瞬引っかかってしまった。
0584１３２人目の素数さん
2010/02/28(日) 23:53:21３°は作図可能か
0585１３２人目の素数さん
2010/03/01(月) 08:28:33正五角形と正六角形から12°を作図できる為。
0586１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 00:27:35できれば正六角形はいいとして正五角形の書き方を
書いて欲しかったんだよね。
0588１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 00:59:220589585
2010/03/03(水) 01:05:330590１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 01:13:19cos72°＝(sqrt(5)-1)/4 を使う。
適当な長さを１と決め、縦が１で横が２の長方形を書けば対角線がsqrt(5)になる。
これでsqrt(5)が作図できるから、(sqrt(5)-1)/2も作図可能。
AB＝AC＝１、BC＝(sqrt(5)-1)/2 となる三角形を書けば、∠A＝36°、∠B＝∠C＝72°
正三角形を書けば60°は作図でき、半分にして30°も作図可能。
先ほど作図した36°と30°を合わせば差の6°が作図でき、半分にして3°が作れる。
0591１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 02:02:13いまだに数千年前と同じ条件というのはおかしいのではないか？
えっ 貧富の差がでる。？ いいじゃんか
0592１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 02:22:240593１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 02:43:08(1/3)°だったら分かるが
0594１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 03:02:02肝心の9角形が描けないって事だろ。
0595１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 03:13:00つhttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%9C%E5%9B%B3#.E4.BD.9C.E5.9B.B3.E5.8F.AF.E8.83.BD.E3.81.AA.E6.AD.A3.E5.A4.9A.E8.A7.92.E5.BD.A2
0596１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 04:17:24当然(1/17)°も作図出来るでしょ。
17と360は互いに素なんだから。
実際 6・360 - 127・17 = 1
0597１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 04:20:520598１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 07:14:09このとき (a_n)/n^2 → 1/4 となることを示せ。
但し a_0 = 1 とする（実際は初期値は正であれば何でも良い）。
0599１３２人目の素数さん
2010/03/03(水) 23:50:06ヒント与えすぎでない会？
0600１３２人目の素数さん
2010/03/04(木) 00:04:31A君は、1-p（0<p<1）の確率でそのときの位置に留まり、pの確率でその場に留まった数だけ
次のマス目に進むことができる。A君がｋマス目にいる確率をa_{k}とする。(a_{1} = 1)
（１）a_{ｎ}を求めよ。
（２）a_{n}が最大となるｐの数を求め、その時のlim[n->∞]a_{n}を求めよ。
0601１３２人目の素数さん
2010/03/04(木) 00:10:10なんかマス目の番号 k と試行回数 N を混同してる気がする
(あと n マスを超えた場合にどうするかも一応書いておいた方が良いような）
0602１３２人目の素数さん
2010/03/04(木) 00:12:570603１３２人目の素数さん
2010/03/04(木) 21:59:45http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1047608164/436
0604１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 01:21:56あとは手間の問題だと思う
0605１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 09:28:34各項が正の実数である数列{a[n]} が、a[1]=1と関係式
a[n+1] - a[n] = (√n)*( 1 + 1/(a[n] + a[n+1]) ) (n=1,2,3,・・・)
を満たすとき、
a[n] ≧ √n を示せ。
[pf]
各項は正だから、1 + 1/(a[n] + a[n+1]) > 1 となるので、
与式から a[n+1] - a[n] ≧ √n 。よって a[n+1] ≧ a[n] + √n 。
よって、a[n]≧√n が真と仮定すれば
a[n+1] ≧ √n + √n = 2√n ＞ √(n+1) となり、a[n+1] ≧ √(n+1) も真。
これとa[1]=1≧√1 と合わせて、帰納法によ(ry
代ゼミの解答だとずいぶん仰々しかったのですが・・・
0606１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 10:09:05代ゼミの解答は途中まで読んで挫折した。
漸化式の分母を払うと
a[n+1]^2 - a[n]^2 = (√n)*( a[n+1] + a[n] +1 ) > 1
となってこれとa[1]^2=1よりa[n]^2≧n
で終わりだよな・・・
0607１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 13:06:140608１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 13:45:21簡単な議論によりan→＋∞ が分かる。よって
bn：＝{√a(n＋1)}－√an＝{√(an＋√an)}－√an＝{1＋√(1＋(1/√an))}^{－1} → 1/2
となるので、(1/n)Σ[k＝1～n－1]bk → 1/2 となる。左辺は{√an－√a1}/nだから、
結局、(√an)/n → 1/2 となる。よって(an)/n^2 → 1/4 となる。
0609１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 18:54:00>(1/n)Σ[k＝1～n－1]bk → 1/2 となる。
証明して。
0610１３２人目の素数さん
2010/03/05(金) 22:07:12ただそこから(1/n)Σ[k＝1～n－1]bk → 1/2をちゃんと導くのは意外と大変
anもbnも単調だから高校生でも出来るのは出来るけども
0611１３２人目の素数さん
2010/03/06(土) 02:10:53有名な定理。ε－δ論法で簡単に証明できる。
どうしても高校の範囲がいいなら↓で。
簡単な計算(帰納法も使う)により、an＞(1/16)n^2 と
なることが分かる。また、cn＝bn－1/2 とおけば、
簡単な計算により｜cn｜＜1/(8√an) となることが
分かる。よって｜cn｜＜1/(2n) ということになり、
0≦｜(1/n)Σ[k＝1～n－1]ck｜≦(1/n)Σ[k＝1～n－1]｜ck｜
≦(1/2n)Σ[k＝1～n－1](1/k)≦(1/2n){1＋log(n－1)} → 0
となる(log(n－1)による評価は、よくやる区分求積の方法)。
はさみうちの原理から｜(1/n)Σ[k＝1～n－1]ck｜→0 であり、
よって(1/n)Σ[k＝1～n－1]ck → 0 であり、これとcn＝bn－1/2 から
(1/n)Σ[k＝1～n－1]bk → 1/2 がすぐに出る。
0612１３２人目の素数さん
2010/03/06(土) 20:27:30誰か解いてくれん？
0613１３２人目の素数さん
2010/03/06(土) 20:51:200614１３２人目の素数さん
2010/03/06(土) 23:10:32蛇足だが･･････
a[n+1] - a[n] ≧ √n ≧ (2/3){(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)},
より
a[n] ≧ {2(n - 1/2)^(3/2) - √(1/2)}/3 + a[1],
0615１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 03:30:29あれって、要するに正の実数a、b、cがa+b+c=1をみたしているとき
acの取りうる値の範囲をbで表せ、ということだよね？
0616１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 03:31:16蛇足だが･･････
〔補題〕
n が自然数のとき
√n > (2/3){(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)},
(略証)
{(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2)}^2
= (n + 1/2)^3 + (n - 1/2)^3 -2(n^2 - 1/4)^(3/2)
= 2n^3 + (3/2)n -2√{n^6 -(3/4)n^4 +(3/16)n^2 -(1/64)}
> 2n^3 + (3/2)n -2√{n^6 -(3/4)n^4 +(9/64)n^2}
= 2n^3 + (3/2)n -2n(n^2 - 3/8)
= (9/4)n,
平方根をとって
(n + 1/2)^(3/2) - (n - 1/2)^(3/2) > (3/2)√n,
0617１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 03:42:04それって要するに正の実数 a,c >0 が a+c = 1-b をみたしているとき
acの取りうる値の範囲をbで表せ、ということだよね？
0 < ac ≦ {(1-b)/2}^2,
>>616
略証の不等号、逆向きでつ.....
0618１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 11:38:31大学受験でバツが付かない程度には直観に頼らない議論をする。
定理A：数列anがαに収束することと、次のＰが成り立つことは同値である。
Ｐ「任意のε＞0に対して、ある自然数Mが存在して、n＞Mのとき常に｜an－α｜＜εとなる。」
以下の(i)(ii)は高校の範囲なのか分からないが、
これも証明なしで認めて使うことにする。
(i)lim[n→∞]xn＝0ならば、mk → ∞ を満たす任意の
自然数列mkに対してlim[k→∞]x_mk＝0である。
(ii)数列xnは、あるε＞0に対して常にxn＞εを満たすとする。
このとき、xnは0に収束しない。
定理Aの証明：
[STEP1]数列anがαに収束するとする。このときlim[n→∞]｜an－α｜＝0が
成り立つ。そこでbn：＝｜an－α｜ とおけば、lim[n→∞]bn＝0 が成り立つ。
ε＞0を任意に取る。bn≧ε を満たすnが有限個しか無いことを示す。もし
無限個あったとすると、そのようなnを小さい方から順番にm1,m2,m3,…とおけば、
任意のkに対してb_mk≧ε …(*)が成り立つ。lim[n→∞]bn＝0だったから、
(mk→∞に注意して) lim[k→∞]b_mk＝0 となり、これは(*)に矛盾する。
よって、bn≧ε を満たすnは有限個しかなく、そのようなnのうち
最大のものをMとおけば、n＞Mのときは常にbn＜εが成り立つ。よってＰが成り立つ。
0619１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 11:40:29このεに対して、Ｐを満たす自然数Mを1つ取り、これをMkと書く。次に、
Nk：＝k＋(M1＋M2＋…＋Mk) とおく。このとき、「n＞Nkならば｜an－α｜＜1/k」…(a)
が任意のkに対して成り立つ。次に、写像T：{n∈N｜n＞N1} → N を
以下のように定義する。
自然数列Nkは狭義単調増加だから、任意のn＞N1に対して、Nk＜n≦N(k＋1) を
満たすkが一意的に存在する。このkをTnと書く。kはnによって一意的に決まるので、
この定義はwell-definedである。
このようにして定義した写像Tは、
「任意のn＞N1に対してN(Tn)＜n≦N(1＋Tn)」 …(b)
を満たす。特にN(Tn)＜nに注目すれば、これと(a)から
「任意のn＞N1に対して｜an－α｜＜1/Tn」が成り立つことになる。
あとは、n→∞のときTn→∞となることが言えれば、はさみうちの原理から
｜an－α｜→ 0となって、anはαに収束することになる。
まず、Tは広義単調増加であることを示す。N1＜n＜mのとき、(b)を使って
N(Tn)＜n＜m≦N(1＋Tm) すなわちN(Tn)＜N(1＋Tm)となるので、Nが
狭義単調増加であることからTn＜1＋Tm となり、よってTn≦Tm を得る。
よってTは広義単調増加である。
次に、任意の自然数kに対して、Tn＝kを満たす自然数nが存在することを示す。
これは、Tの定義からT(N(k＋1))＝kが成り立つので明らかである。以上をまとめると
・Tnは広義単調増加
・任意のkに対して、Tn＝kを満たすnが存在する
となるので、Tのグラフを書けば、n→∞のときTn→∞となることは自明である。
0620１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 14:53:44そんな万独裁ことせずに、普通に挟み撃ちでいくんで内科医？
下からの評価はちょとややこいが。
0621１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 15:00:41俺は別に面倒くさいと思わないし、君の方法でも
＞下からの評価はちょとややこいが。
らしいから、どのみち大して手間は変わらないだろう。
0622１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 16:35:29√an＋1/2－1/√n ≦ a(n+1) ≦ √an＋1/2
で瞬殺だろ。
0623622
2010/03/07(日) 16:37:25○ √an＋1/2－1/√n ≦ √{ a(n+1) } ≦ √an＋1/2
0624１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 17:05:31高校の範囲に拘るなら、瞬殺になってない。
まず、左辺の不等号を示す手間がある。それに、
(1/n)Σ[k＝1～n]1/√k → 0 を示す手間もある。
この手間は>>611と同等。
結局、611と大して変わらない。
0625１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 18:22:570626１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 20:02:14なんで 「いびつなサイコロ」を設定したのか分からん。
「ほにゃららの確率が最大になるようなpの値を求めよ」、なんて小問を作るならまだしも、
この問題なら、いびつかどうかなんて全く非本質的で、
別にどの目も確率1/6で出るという設定でいいじゃん。
0627１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 20:59:51>>605に至っては如何に非本質的な情報に騙されないで
本質的な部分にのみ注目するかが問われていると言っても良いくらいだし
0628１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 21:20:23議論そのものは、3種類の移動確率はp,p,1-2p だろうが 1/3,1/3, 1/3 だろうが、本質的に違わないのだから、
まさにコケオドシ的な設定なのでは。
問題としてのエレガントさに欠けるというか。
0629１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 21:51:03ポケットが3つのルーレットでいいじゃん
面積比がp：p：1－2pになってるルーレット
0630１３２人目の素数さん
2010/03/07(日) 23:06:06(3)での式の展開の処理を見たかったからなのかなと解釈したが・・・
まぁ、確かにその通りだよな
0631１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 00:08:01横国受けるくらいだとどうかは知らないが
0632１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 00:31:51受験本番は緊張してるんだぞ
普通の問題文でさえ、勝手にミスリードして
自爆することだってあるのに
ミスリードを誘う姑息な目くらましの問題文で
受験生を篩いにかけて何の意味があるのか
まるで引っ掛けクイズ番組じゃないか
そんなの数学じゃねーだろ
0633１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 02:45:01ミスリードを誘うような設定とかは無いだろ
0634１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 03:16:03でもなあ、なんか問題文が姑息な感じがする。
雑多な設定で目くらましさせようとしてる感じ。
まあ、このくらいなら許容範囲なのかねぇ。俺は嫌いだが。
0635１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 10:56:08六通りならサイコロ
三通りでもサイコロ
コインかサイコロ以外使ったらいかんと言う取り決めでもあるんかと思うほど試験問題はたいていコインかサイコロだな
あとカード
0636１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 11:27:210637１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 11:31:52一応分母は綺麗になるように配慮ししているところがまた・・・
0638１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 12:16:03＞簡単な計算(帰納法も使う)により、an＞(1/16)n^2 と
と
＞簡単な計算により｜cn｜＜1/(8√an) となることが
の部分を詳しくお願いします。
ついでに、>>622
＞√an＋1/2－1/√n ≦ a(n+1)
の部分も。
0639１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 15:26:310640１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 15:33:580641１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 22:35:410642１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 22:51:500643１３２人目の素数さん
2010/03/08(月) 23:36:010644１３２人目の素数さん
2010/03/09(火) 00:01:20〔補題〕
n/2 -(1/4)√n < √a_(n+1) - √a_1 < n/2,
(略証)
√a_k > 1/8 より、
a_k + √(a_k) - 1/{8√(a_k)} + 1/(64a_k) < a_(k+1) < a_k + √(a_k) + (1/4),
平方根をとる。
√(a_k) + (1/2) - 1/{8√(a_k)} < √a_(k+1) < √(a_k) + (1/2),
移項する。
(1/2) - 1/{8√(a_k)} < √a_(k+1) - √a_k < 1/2,
a_k ≧ k より
(1/2) - 1/(8√k) < √a_(k+1) - √a_k < 1/2,
(1/2) - (1/4){√k - √(k-1)} < √a_(k+1) - √a_k < 1/2, (*)
k=1,2,････,n について和をとる。
n/2 - (1/4)√n < √a_(n+1) - √a_1 < n/2, (終)
(*) 2√k - 1/√k = (2k-1)/√k = √{(4k^2 -4k +1)/k} > 2√(k-1),
0645１３２人目の素数さん
2010/03/09(火) 00:16:59焼き直しにしか見えないのだが．．．
0646１３２人目の素数さん
2010/03/09(火) 00:31:36よって1/2 - ε/2 < b_N <b_{N+1} < ......... < 1/2 となる N が存在する。
Σ_{k=1}^{k=N-1} b_k = N(1/2 - ε) + A とおくと云々
とかやって普通にΣb_k / n →1/2を示した方が早い気も。
高校生っぽい式変形ではないけどね。
ちなみに>>598の元ネタはWilliam Timothy Gowersの
Mathematics:A Very Short Introduction(Very Short Introductions)
「１冊でわかる数学」の最後の章。
0647１３２人目の素数さん
2010/03/09(火) 01:06:05それε－δじゃん
0648１３２人目の素数さん
2010/03/11(木) 12:20:40例えば同じ「礼状の書き方」という履修科目があったとして、
円谷選手の手紙を読ませるのが国公立、拝啓から型を教えるのがＦラン・専門だという事。
後者であれば形だけでも一定水準の実務能力が保証されているから社会に出ても一通りの仕事は出来るし、
志のある学生は自分でそれ以上に勉強して国公立の上位層を上回る水準に達している者も当然いる。
いっぽう前者はというと心構えを教えるだけで型は各自で調べなさいというスタンスなので一定水準の保証は無い。
国立大の出身者が使えないと世間でよく言われるのはこの底辺層の学生のこと。
何をすべきかを自分で考えて努力を続けて来た者は良いが、
大学生にもなって学校まかせで言われた事しかやって来なかった学生は全く使えない人材に育ってしまっている例が多い
0649１３２人目の素数さん
2010/03/11(木) 12:42:510650１３２人目の素数さん
2010/03/11(木) 12:45:00l / ヽ / ヽ ＼
/ / l ヽ / | ＼
｜ し な 間 〉 ／/ l_ , ‐､ ∨ i l | | ＼ は
｜ ら っ に |／ l ,-､,/ﾚ‐r､ヽ | ／｀K ,-､ ＜ し
｜ ん て あ / | l｀｀i { ヽヽ l | / , '／',｀ //｀|＿/ や
｜ ぞ も わ |> ヽl´､i '_ ｡`､llｨ'｡´ _/ /,) /＼ ろ
｜ ｜ な |`/＼ヽ'_i ,.,.,.⌒´)_ ｀_⌒ /__/l ＼ く
っ | く |/ / l´,.-― ､l`ー一'_冫 /l l | / っ
!!!! ｜ ＼ ', / ／｀7-､二´､,.| /// | /
lＴ´ { / / ト､ |::| /// / / !!!!!
ｌ´ ヽ､ > ｰ ,/ |ニ.ノ-' ／ ／ ＿
i｀`` ､/ } ',,,..' |-'´,- '´ ￣/ ヽ∧ ＿＿＿＿
0651１３２人目の素数さん
2010/03/15(月) 13:52:44ttp://nyushi.yomiuri.co.jp/10/sokuho/yokohamakokuritsu/koki/sugaku_ko/images/mon.pdf
1B**
2C***
3C***
4B**
5C***
0652１３２人目の素数さん
2010/03/15(月) 21:32:19これの2番の代ゼミの解答例、ちょっとひでぇな。
問の面白さが台無しだ。
0653１３２人目の素数さん
2010/03/15(月) 22:09:360654１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 00:11:40こんなレベルで予備校とは呆れる( ＾ω＾)
(1)の意味に代ゼミの講師全員気づかなかったのか？
0655１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 08:09:220656１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 09:49:290657１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 10:14:46代ｾﾞﾐの解答より俺の方が凄い自慢のわかり易い自演乙
0658１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 11:07:590659１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 11:10:41でもすれ違い
ID見れないのって不便ね
0660１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 14:00:29何が問題なのか？
0661１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 15:00:400662１３２人目の素数さん
2010/03/16(火) 18:08:23だから下位講師なのである
とループ
0663１３２人目の素数さん
2010/03/17(水) 18:42:02横国後期2番の(2)は、
結局、任意のyについて AP(y) = P(y+θ) が成り立つことが分かるので、
(A^n)P(y) = P(y+nθ) = P(y+2nπ) = P(y) となり、P(y)はインバースをもつので、A^n = E
でいいんですよね。
0664１３２人目の素数さん
2010/03/18(木) 23:14:25(1/10)^(n+1)＜p＜(1/10)^n をみたすようなnを根拠をつけて予測せよ.
簡単のため、世界の人口を６０億人としてもよい.
0665１３２人目の素数さん
2010/03/18(木) 23:44:05すれ違いとは承知してるんだけど、もうちょっと。
高校生のために、で紹介されていた九州８年の３番の解答
ttp://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho08/kyushu/koki/index.html
代ゼミの解答作成者、問題の誘導に乗らない解を出すことに生きがいを感じているのか。
0666１３２人目の素数さん
2010/03/22(月) 14:21:24このときにできるn本の折り線すべてで囲まれる部分の面積をS_nとする。 ただし、折り線は直線として扱う。
lim_{n→∞}S_nを求めよ。
0667１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 02:38:38a^3+3ab+b^3=1
0668１３２人目の素数さん
2010/03/23(火) 10:44:410669１３２人目の素数さん
2010/03/24(水) 21:04:57・前の因子から、(a,b) = (a,1-a),
・後の因子は
a^2 +b^2 -ab +a +b +1 = (1/2){(a-b)^2 + (b+1)^2 + (a+1)^2} ≧ 0,
∴ (a,b)=(-1,-1)
0670１３２人目の素数さん
2010/03/26(金) 18:51:47C***
C***
C***
C***
C***
C****
0671１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 10:54:391って、B＊＊○
かとおもうんだけど、なんでだろ
0672１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 13:33:58河合も同じジャン。どうしろという。
0673１３２人目の素数さん
2010/04/02(金) 13:42:01なんでかと言われれば、お前がどう思うかは大数の評価に関係ないからだろうな。
0674671
2010/04/06(火) 02:20:17いや、自分の主観ってより、大数的にというか、
大数のほかの大学の難易度付けと比べても、おもうんだけど。。。
自分ならかかる時間は１５分くらい。
0675１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 11:11:403番の、小問2の解答がひどい、ということだよね。
小問1の答は 「a≠0のとき x=2y , a=0のとき x,yは任意」。
a=0のときA＝Eで、これは明らかに不適。
a≠0のとき、小問1の結果から、Aが対称変換になるとしたらそれは直線x=2yに関する対称変換。
そうなるためには、Aが(-1,2)を(1,-2)に移すことが必要(かつ十分であることもすぐ分かる)。
よって a = -2/5 。
0676１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 22:59:250677１３２人目の素数さん
2010/04/13(火) 23:25:570678１３２人目の素数さん
2010/04/22(木) 01:24:52円Ｃおよび正方形Ｑによって囲まれる領域をＳとし、Ｓの面積をＴとする。
円Ｃと正方形Ｑが、この平面上にて動くとき、Ｔのとりうる値を、aとrによって示せ。
＝＝＝＝
・・・って、２０年前くらいの問題のノリかな？
0679>>678
2010/04/25(日) 09:31:58答えださないまま問題だしちゃったんだけど、
今解こうとしたら、１８パターンも考えないことに気づいた。
（対称性とかで半分に減るかもしれないけど）
だれかおしえてｗ
0680１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 21:28:23min (πr^2, a^2) <= T <= πr^2+a^2
ではないのか？
0681１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 21:53:350682１３２人目の素数さん
2010/04/28(水) 22:16:34◯∧□をSとするなら、
0 <= S <= max (πr^2, a^2)
いずれにしても、入試問題にすらならない愚問。
0683>>678
2010/04/29(木) 00:34:49で、それを前提としても、
>>682 とか、
違うと思うんだけど・・・
たとえば、r=1,a=1.9のときとか考えてみて。
あーでも、冷静になって考えれば簡単かも。
でも、簡単なことを論理的に記述するような、京大的問題かも、
0684１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 01:46:250685１３２人目の素数さん
2010/04/29(木) 05:17:350686１３２人目の素数さん
2010/05/02(日) 13:26:436本の辺(稜)のうち、4本の長さがaで、残る2本の長さがb 。
0687１３２人目の素数さん
2010/05/04(火) 22:46:58(i)長さbの2辺が端点を共有するとき
一辺aの正△ABCがあり、Dは辺BCの2等分面上 かつ 円周AX=a 上にある。
辺ADがBCの中点Mをとおるときb/a→√(2-√3), DがAMの反対方向にあるとき b/a→√(2+√3)
∴ √(2-√3) < b/a < √(2+√3),
(ii) 長さbの2辺がねじれの位置のとき
正方形柱の互い違いの4頂点が四面体の頂点となる。
正方形柱の側面対角線が長さaの辺で, 天井・底面の対角線が長さbの辺である。
このとき、 0< b/a < √2,
(i)(ii)をあわせて、
0 < b/a < √(2+√3),
0688１３２人目の素数さん
2010/05/06(木) 19:34:09答を 「b/a < √(2+√3)」と書いた場合、原点される？されないよね。
つまり、問題でa,bは正という仮定があるので、あえて 0 < b/a に言及しなくても大丈夫だよね？
どうかな。
0689１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 09:16:230690１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 13:01:47ただし nは自然数
0691１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 13:52:23解いてほしい問題ある？
0692１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 13:58:07たまたま集まった５０人のうち同じ誕生日の人がいる確率は何％？
ただし、１年は３６５日とします。
0693１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:05:51これは答案としてはどのように解けばいいのでしょうか。
計算だけで何とかするのは無理っぽく、図形的な議論も必要でしょうか。
0694１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:12:15(1, 1, 0), (1, 2, 0), (2, 1, 0), (2, 2, 0),
(1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 2, 1)を頂点にもつ立方体があるときに
xy平面上にできる陰の面積
0695１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:15:17しねよかす
0696１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:16:51ちゃんと説明できない時点でわかっていないということ
0697１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:20:34しねよかす
0698１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:28:13回転と相似だろ？a, b≠0のとき
√(a^2+b^2)R(θ)
cosθ=a/√(a^2+b^2), sinθ=b/√(a^2+b^2)
0699１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:50:000700１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 14:56:32>>274 の問題の内容が
「正三角形Tを、その重心をを中心として相似＆回転変換してできる正三角形T’がTと共有点を持つとき、
T'の頂点の存在範囲を図示せよ」
ということくらいは分かってます。
その解答(の流れ)を聞きたいのです。
0701１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 17:17:34白紙でも問題なかったと思われる。
（東京大学出題）
空間内に平面aがある。1辺の長さ1の正四面体Vのa上への正射影の面積をSとし、
Vがいろいろと位置を変えるときのSの最大値と最小値を求めよ。
ただし、空間の点Pを通ってaに垂直な直線がaと交わる点をPのa上への正射影といい、
空間図形Vの各点のa上への正射影全体の作るa上の図形をVのa上への正射影という。
0702１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 19:26:590703１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 19:35:030704１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 20:50:24たまたま集まった５０人のうち同じ誕生日の人がいる確率は何％？
ただし、１年は３６５日とします。
解いてからカスと言え
0705１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 21:18:26採点では、議論自体に不備があっても、最大値と最小値が正しく得られていれば13点を与えたらしいが
0706１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 21:49:10この年の理系の数学の合格ラインは３割
by 東京出版
0707１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 22:27:20http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
0708１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 22:30:420709１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 22:46:02いくつかの状況に分けてその中での最大最小を論じて答えを見つける
一つの頂点を始点としてほかの頂点が正射影上のどこにうつるかを考えて計算
解答の方針は立ててみたがこれでできるかな？
0710１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 22:56:15(9π)/4
0711１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 23:20:22別スレで解決済み
0712１３２人目の素数さん
2010/05/12(水) 23:37:19kwsk
0713１３２人目の素数さん
2010/05/13(木) 00:11:35ほーらせんでーからめてー
{(√3)/2}πかなー
0714１３２人目の素数さん
2010/05/13(木) 08:40:03質問スレのだろ？
あれは、間違いだぞ
0715１３２人目の素数さん
2010/05/13(木) 14:38:02じゃあ正しい答え書けばいいじゃん
0716１３２人目の素数さん
2010/05/15(土) 19:49:52より高度で難解な問題を問いかけるべき。
俺ならこれを出すね
x^n+y^n+z^n
2＜nの時
x,y,zを満たす解が存在しないことを証明せよ
と言いたいところだけど、最近のド低脳どもには無理だから
n=4のときだけでいいから証明しろ
0717１３２人目の素数さん
2010/05/15(土) 19:59:00x^n+y^n=z^n (x, y, z ∈C)
みたいな「方程式」を出してくれ
0718１３２人目の素数さん
2010/05/15(土) 20:23:14フェルマ・ワイルズの定理より（ｒｙ
0719１３２人目の素数さん
2010/05/15(土) 20:30:562＜nの時
x,y,zを満たす解
って俺意味分からんのだが718は良く分ったな
0720べ
2010/05/15(土) 23:37:13って事じゃない？
反例１：n=0の時必ず成り立つ
反例２、３：n=±1の時(x,y,z)=(1,1,1)
反例４：n=1/2の時(x,y,z)=(2,2,2√2)
まだまだ反例があるが
0721１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 00:00:10えっ
0722１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 00:10:20おい、そいつに触れんな
0723１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 00:21:13何この中二病患者がうろ覚えで書いたような問題ｗ
0724べ
2010/05/16(日) 00:22:24反例２、３：n=±1の時(x,y,z)=(1,1,2)
反例４：n=1/2の時(x,y,z)=(2,2,2√2)
だった ｗ
0725べ
2010/05/16(日) 00:23:50反例１：(x,y,z)=(0,0,0)とか？ｗ
>>722
お前はこのスレは相応しくないから帰れｗ
0726べ
2010/05/16(日) 00:26:36とか、他にもたくさんあるｗ
0727１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 00:32:420728１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 04:15:110729ちんぽ
2010/05/16(日) 09:47:110730１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 10:52:550731１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 15:12:060732１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 15:14:360733１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 15:16:160734１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 16:03:230735１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 20:48:590736１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 22:05:15(2m)^{4} ≡ 0, (mod 16)
(2m+1)^{4} ≡ 1, (mod 16)
(2m+1)^{2010} ≡ (2m+1)^{2006} ≡ ･････ ≡ (2m+1)^{2}, (mod 16)
(8m±1)^{2010} ≡ 1, (mod 16) …… 252個 + 251個
(8m±3)^{2010} ≡ 9, (mod 16) …… 251個 * 2
∴ 5021 ≡ 13, (mod 16)
0737１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 22:10:43フェルマーの小定理より
a^{p} ≡ a, (mod p)
a^{2010} ≡ a^{2010-(p-1)} ≡ a^{2010-2(p-1)} ≡ ……
とくに a^{2010} ≡ a^{10}, (mod 17)
(pm±k)^{10} ≡ k^{10}, (mod p)
(17m)^{10} ≡ 0, (mod 17)
(17m±1)^{10} ≡ 1, (mod 17)
(17m±2)^{10} ≡ 4, (mod 17)
(17m±3)^{10} ≡ 8, (mod 17)
(17m±4)^{10} ≡ 16, (mod 17)
(17m±5)^{10} ≡ 9, (mod 17)
(17m±6)^{10} ≡ 15, (mod 17)
(17m±7)^{10} ≡ 2, (mod 17)
(17m±8)^{10} ≡ 13, (mod 17)
Σ[k=1,8] (17m+k)^{10} ≡ Σ[k=1,8] (17m-k)^{10} ≡ 0, (mod 17)
∴ (与式) ≡ Σ[1,4] (2006+k)^{10} ≡ Σ[1,4] k^{10} = 1108650 ≡ 12, (mod 17)
0738１３２人目の素数さん
2010/05/16(日) 22:52:56オイラーの定理より
a^{1+φ(n)} ≡ a, (mod n)
ここに φ(n) は オイラーの totient函数。
a^{2010} = a^{2010-φ(n)} ≡ a^{2010-2φ(n)} ≡ …… (mod n)
とくに φ(3･5) = (3-1)(5-1) = 8,
a^{9} ≡ a, (mod 15)
a^{2010} ≡ a^{2002} ≡ …… ≡ a^{2}, (mod 15)
(nm±k)^{2} ≡ k^{2}, (mod n)
(15m)^{2} ≡ 0, (mod 15)
(15m±1)^{2} ≡ 1, (mod 15)
(15m±2)^{2} ≡ 4, (mod 15)
(15m±3)^{2} ≡ 9, (mod 15)
(15m±4)^{2} ≡ 1, (mod 15)
(15m±5)^{2} ≡ 10, (mod 15)
(15m±6)^{2} ≡ 6, (mod 15)
(15m±7)^{2} ≡ 4, (mod 15)
Σ[k=1,7] (15m+k)^{2} ≡ Σ[k=1,7] (15m-k)^{2} ≡ 5, (mod 15)
Σ[k=1,45] (15m+k)^{2} ≡ 0, (mod 15)
∴ (与式) = Σ[k=1,30] (1980+k)^{2} ≡ 5*4 ≡ 5, (mod 15)
※ 実は a^{5} ≡ a, (mod 15) が成り立つ。
a^{5} - a = (a-1)a(a+1)(a^{2} +1) = (a-1)a(a+1){(a-2)(a+2) +5},
0739べ
2010/05/16(日) 23:40:29念のためだがそれは>>716にだけ言ってるんだよな？
念のためだが、オレは全角「記号」は＜しか使っておらず、
この「＜」は>>716の文から引用したんだが。
もし全角「数字」使ってるやつがキモイと言うのであれば、
>>728自信もキモイ事になるが。
0740１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 01:03:292010個の自然数の和で表されるもののうちその約数の個数が最大となるものを求めよ
0741１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 01:03:56≦, ≧ と <, > を混ぜると気持ち悪い
0742１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 01:05:470743１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 01:19:440744１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 05:24:102048
0745１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 09:24:320746１３２人目の素数さん
2010/05/17(月) 09:35:49素材は悪くないと思うが
2010個の自然数の和で表される自然数って無数にあるとういか
2010以上の自然数すべてだし
約数の個数って条件じゃ上に制限つかないから
いくらでも大きいものが用意できる
0747１３２人目の素数さん
2010/05/18(火) 23:04:28各辺の中点を結んで4等分する方法だと、△の数が3づつ増える。
2010-1 は 3で割り切れないから、この方法では無理……
0748１３２人目の素数さん
2010/05/19(水) 12:38:47小三角形の3つを選びそれぞれ
各辺の中点を結んで4つに分割
各辺を3等分して9個に分割
各辺を8等分して64個に分割
とすれば元の三角形を1936+64-1+4-1+9-1=2010個に分割できる
0749１３２人目の素数さん
2010/05/19(水) 12:51:01それ相似な図形にならなくね
0750１３２人目の素数さん
2010/05/19(水) 21:31:38まづ、各辺の中点を結んで４つの△に分割し、
ラグランジュの４平方和の定理を使ってさらに分割する方法もある。
（但し n≠1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41, (4^k)*2, (4^k)*6, (4^k)*14）
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1206257132/67-71
casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
http://mathworld.wolfram.com/LagrangesFour-SquareTheorem.html
0751１３２人目の素数さん
2010/05/20(木) 21:01:59辺の2等分をm_2回、辺の3等分をm_3回行うと、△の個数nは
n = 1 + (2x2-1)m_2 + (3x3-1)m_3 = 1 + 3m_2 + 8m_3,
となる。
∴ n≠ 2,3,5,6,8,11,14 のとき、n個の相似な△に分割できる。
まあ、意匠(デザイン)的には >>750 が優っているが……
0752１３２人目の素数さん
2010/05/20(木) 21:54:09実際の入試で過去にあった？
0753１３２人目の素数さん
2010/05/21(金) 00:02:540754１３２人目の素数さん
2010/05/21(金) 00:07:35入試問題を探せば無数に見つかる。
東大では2003年の数列のやつとか、2000年の場合の数の問題とか。
0755１３２人目の素数さん
2010/05/21(金) 00:12:220756１３２人目の素数さん
2010/05/21(金) 21:26:302010
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265367836/
2009
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1229082448/
0757１３２人目の素数さん
2010/06/15(火) 19:04:52今、この正方形格子上の路（素となる正方形の一辺）上に、次のルールを満たすように障害物を置いてもよいこととする
１、障害物の置かれた路は通行できない
２、正方形格子上の、どの2×2の正方形格子に関しても、その2×2正方形格子上の路だけを見たときに最も左上にある点と最も右下にある点を繋ぐ経路が存在する
この正方形格子上の路を通って、正方形格子の最も左上にある点と最も右下にある点を繋ぐ経路が存在しないような障害物の配置が可能であるためのnの必要十分条件を述べよ
nは奇数。
略証：
最も左上の格子点を(0,0)、格子点(x,y)の右隣の格子点を(x+1,y)、
下隣を(x,y+1)と書くことにすると
nが偶数であれば必ず非負整数kについて(2k,2k)から(2k+2,2k+2)へ
移動できる為、nは偶数ではない(必要条件)
nが奇数である時、隣り合う二つの格子点(x,y)、(z,w)間の経路をV(x,y,z,w)と書くことにすると
全ての非負整数kについて、以下の経路に障害物を置いた時グラフは連続でなくなるため
最も左上の格子点からもっども右下の格子点への経路は存在しなくなる；
V(2k,2k,2k+1,2k),V(2k,2k+1,2k+1,2k+1),V(2k+1,2k+1,2k+1,2k+2),V(2k+2,2k+1,2k+2,2k+2)(十分条件)
0760恩を肌で返す ◆ZJwTrwL.xg
2010/06/16(水) 21:02:18速度cで流れる川の流れに逆行して特定の距離を進むとき、燃料消費量が最小となる船舶の水面に対する速度を求めよ。
簡単だけどね。
0761１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 14:53:540762１３２人目の素数さん
2010/07/08(木) 21:40:42ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org1015434.pdf
0763１３２人目の素数さん
2010/07/12(月) 15:21:050764１３２人目の素数さん
2010/07/12(月) 15:36:25国なんか運営していると、
人に何かやらせることで頭がいっぱいになってしまうよ。
0765恩を肌で返す ◆ZJwTrwL.xg
2010/07/12(月) 16:43:35>>763
｛(5+3√5)^(n+2)-(5-3√5)^(n+2)｝/120√5*2^(n-1)
0766１３２人目の素数さん
2010/07/12(月) 21:04:38プレゼンしてきました。全部で10ヶ所でした、かれは超過勤務手当てを何時間分もらえますか？
0767１３２人目の素数さん
2010/07/16(金) 19:07:23http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/222.html
0768１３２人目の素数さん
2010/07/16(金) 19:14:120769１３２人目の素数さん
2010/07/17(土) 03:42:47F_3未満の正整数はF_1=1より表せる。
F_(n-1)未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せると仮定する。
その中のある正整数kについてkはF_(n-1)未満よりF_(n-1)を含まない。
F_(n-1)はそのまま満たす。1≦k≦F_(n-2)-1(k∈N)について
F_(n-1)+kは異なるフィボナッチ数の和で表せる。
またF_(n-1)+F_(n-2)-1=F_n-1よりF_n未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せる。
よって数学的帰納法より任意のnでF_n未満の正整数が異なるフィボナッチ数の和で表せる。
lim(n→∞)F_n=∞より任意の正正数は異なるフィボナッチ数の和で表せる。
0770１３２人目の素数さん
2010/07/17(土) 13:04:04自分が作った解答は
ある正整数kに対して
F_n≦k<F_(n+1)を満たすようにnを定める
F_nを引くと、0≦k-F_n<F_(n+1)-F_n=F_(n-1)
0=k-F_nのとき
k=F_nとなり題意は満たされる
0≠k-F_nのとき
n-1以下の正整数のうち
F_m≦k-F_n<F_(m+1)を満たすmが存在ので
F_m引けば、0≦k-F_n-F_m<F_(m+1)-F_m=F_(m-1)
0=k-F_n-F_mのとき
k=F_n+F_m ⋀ m≠nなので題意は満たされる
0≠k-F_n-F_mのとき
同様の操作を行うことでまた同じ議論をすることになり
有限回の操作で０になることから題意は満たされた ■
0771１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 14:58:02次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．
『4点 G，O，I，H のうち任意の2点が一致すれば4点すべてが一致する』
0772１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 21:10:56↑OH=↑OA+↑OB+↑OC=3↑OGが成り立つ
O＝Hのとき
O＝Gとなり△OAB、△OBC、△OCA がすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる
O＝Gのとき
O＝Hとなり△OAB、△OBC、△OCAがすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる。
O＝Iのとき
△OAB、△OBC、△OCA がすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形。
G＝Hのとき
G＝Oとなり、△OAB、△OBC、△OCAがすべて合同になる。従って、△ABCは正三角形となる。
H＝Iのとき
G＝Hとなり、△ＡＢＣ は正三角形となる。
G＝Iのとき
内接円と△ABCとの交点をそれぞれD、E、Fとおけば
△AGD,△CGD,△CGE,△BGE,△BGF,△AGFは全て合同なので △ABCは正三角形となる
従って、任意の2点が一致すれば正三角形になることが示せた
逆を考えれば、正三角形の重心，外心，内心、垂心は全て一致することは明らかなので
題意は満たされた。
0773１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 21:16:32A_n+A_(n+1)=A_kを満たす(n,k)が無限に存在することを示せ
0774１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 21:44:53素晴らしい
0775１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 22:23:32n^2+n^2+2n+1/k^2=1
n^2+n^2+2n+1-k^2/k^2=0
2n^2+2n+(1-k^2)/k^2=0
D=4-2*4*(1-k^2)
=4-8(1-k^2)
=4-8+8*k^2
=-4+8*k^2
=2*k^2-1
D>0
0776１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 22:40:380777１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 22:43:42を満たす自然数(n,k)の組が無限に存在することを示す。
2n^2＋2n＋1＝k^2
4n^2＋4n＋2＝2k^2
(2n＋1)^2＋1＝2k^2
∴ 2x^2－y^2＝1，(x,y)＝(k,2n＋1)
ペル方程式 2x^2－y^2＝1 の自然数解は無数に存在することが
知られている。また、y^2＝2x^2－1≡1 (mod 2) だから、
自然数解(x,y)において、yは必ず奇数になる。
よって、(*)を満たす(k,n)も無限に存在する。
0778１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 23:31:15n=(a^2-b^2)
k=a^2+b^2
2ab-1=a^2-b^2
(b-a)^2-2b^2=-1
(a+b)^2-2a^2=1
(p+q2^.5)^t
b-a=p
a=q
b=p-q
n=q^2-(p-q)^2
0779１３２人目の素数さん
2010/07/22(木) 16:17:21このとき数列(a_1,a_2,...,a_n)および順次左に１つずつ巡回シフトして得られるn種の数列
(a_1,a_2,...,a_n)
(a_2,a_3,...,a_n,a_1)
：
(a_(i+1),a_(i+2),...,a_n,a_1,..,a_(i))
：
(a_n,a_1,...,a_(n-1))
の中にその全ての部分和が正になるものが１つだけ存在することを示せ。
(a_(i+1),a_(i+2),...,a_n,a_1,..,a_i)の部分和とは
a_(i+1)
a_(i+1)+a_(i+2)
：
a_(i+1)+a_(i+2)+...+a_n+a_1+...+a_i
である。
0780１３２人目の素数さん
2010/07/22(木) 20:16:15777正解だが拡張ペル方程式は解が存在しないときがあるので
解が無限に存在することを示す必要がある
778は多分不正解
773の続き
B_n=n^3と定義する
B_n+B_(n+1)=A_kとなる(n,k)を全て求めよ
多分超難問だと思う
0781１３２人目の素数さん
2010/07/22(木) 20:41:390782１３２人目の素数さん
2010/07/24(土) 20:15:12＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
題意の「ｎ種の数列」として、数列｛a_n｝からシフトして得られるｎ種の数列を考える。
（｛a_n｝の項数が１のときは題意は明らかに成立するので、ｎ≧２として以下考察する。）
与条件より、
{a_n}の各項は整数・・・・①
Σ{i=1,n}｛a_n｝ = 1・・・・・②
以下、(a_1,a_2,...,a_n)を数回（または０回）シフトし、初項がa_tとなるもの、つまり、
(a_t,a_(t+1),...,a_(t-1))
を、
『｛a_n｝のｔシフト数列』とよぶこととする。(t=0,1....,n-1）
（また、{｛a_n｝のｔシフト数列』｜t=0,1....,n-1} を総称して、｛a_n｝のシフト数列、とよぶ）
｛a_n｝のシフト数列のうち、全ての部分和が正になるものが複数あると仮定する。
このとき、｛a_n｝の０シフト数列と、ｐシフト数列（ｐはn-1以下の正整数・・・③）が該当するとして、一般性は失われない。
仮定と②より
｛a_n｝の０シフト数列について、
Σ{i=1,p-1}｛a_i｝ = 1 - Σ{i=p,n}｛a_i｝ > 0・・・★
｛a_n｝のｐシフト数列について、
Σ{i=p,n}｛a_i｝> 0・・・☆
★と☆より、
0 < Σ{i=p,n}｛a_i｝ < 1
しかし、これは、①に反するので、前述の仮定は成立しえない。
ゆえに、｛a_n｝のシフト数列のうち、
部分和が正になるものは、たかだか１つしか存在しない。
0784>>782
2010/07/24(土) 20:21:05日本語が変だった・・・。
＞部分和が正になるものは、たかだか１つしか存在しない。
でなくて・・
｛a_n｝のシフト数列のなかで、
すべての部分和が正となるようなシフト順列は、たかだか１種類しか存在しない。。
（なのであとは存在をしめせばおｋ？）
0785１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 17:46:25n=1のときは明らかに成立
n=kのとき存在を仮定する
n=k+1のとき
a_mとa_(m+1)を足して項数をk個にする
ただし{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}を満たす
この条件を満たすmの存在証明は各項の総和が１であることを利用すれば明らか
すると、この新たにできたk個の項は題の条件を満たしているので 仮定から題意を満たすk種の数列が存在する
条件を満たすようにシフトを行った後a_mとa_(m+1)にばらしても
{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}であるため
題意を満たす よって帰納法により示せた
0786１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 17:56:45n=2のときは明らかに成立
n=2だけ
{a_m<0⋀a_(m+1)<0}∨{a_m>│a_(m+1)│}∨{a_m>0⋀a_(m+1)>0}
を満たさない場合があった
0787１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 18:20:15p,qは
p/q=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…-(1/1318)+(1/1319)
となるような正の整数である。このとき、pが1979で割り切れることを示せ。
0788１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 18:24:08小さな定規が1つある。
この定規と鉛筆だけを用いて、遠く離れている2点P,Qを結ぶ直線は引けるか。
引ける、引けないにせよ、それを数学的に証明せよ。
0789１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 18:37:570790１３２人目の素数さん
2010/07/26(月) 22:40:36簡単のため、数列{a_1,a_2,…,a_n}を周期nの周期数列に拡張する。
S_k＝a_1＋…＋a_k (k∈N)
と置く。1≦k≦nにおけるS_kの最小値をαとおく。S_n＝1だからα≦1である。
α＝1のときは{a_1,…,a_n}が題意を満たす。
以下、α＜1の場合を考える。1≦k≦nにおいて、S_k＝αを満たすkを考え、
その中でkが最大になるものを i と置く。S_n＝1＞α だからi＜nであり、
S_i＝αであり、i＜k≦nのときはS_k≠αである。次に、
S'_k＝a_{i＋1}＋a_{i＋2}…＋a_{i＋k} (k∈N)
と置く。1≦k≦nにおいてS'_k≧1が成り立つことを示す。S_i＝αに注意して、
S'_k＝S_{k＋i}－S_i＝S_{k＋i}－α (1≦k≦n－i)
S'_k＝S_n－S_i＋S_{k－n＋i}＝1－α＋S_{k－n＋i} (n－i＜k≦n)
となるから、S'_k≧0 (1≦k≦n－i)及び S'_k≧1 (n－i＜k≦n)が分かる。
あとは、S'_k≧1 (1≦k≦n－i) が示せればよい。つまり、S'_k≠0が言えればよい。
もしS'_k＝0 なるkが1≦k≦n－iの範囲に存在したら、S_{k＋i}＝α, i＜k＋i≦n
ということだから、iの最大性に矛盾する。
0791Frank受験生
2010/07/26(月) 22:46:52P,Q点に鉛直に鉛筆を立てる。 中間の適当な点を日本の鉛筆の視線がかさなるようにつくる。
適当な数だけこれをつくる。
鉛直は定規で正確にはかること。
0792１３２人目の素数さん
2010/07/27(火) 17:51:51p/q=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…-(1/1318)+(1/1319)
=1+…+(1/1319)-2((1/2)+(1/4)+…+(1/1318)
={(1/660)+(1/1319)}･･･{(1/989+1/990)}
=1979*k/(660*･･･*1319) kは正整数
1979は素数であり、分母を素因数分解したとき因数全ては1319以下
従ってpは1979で割り切れる ■
0793１３２人目の素数さん
2010/07/27(火) 18:07:26連続する4つの項の積が面積であるような各辺が整数である直角三角形が存在することを示せ
0794１３２人目の素数さん
2010/07/28(水) 21:09:040795１３２人目の素数さん
2010/07/29(木) 21:03:0650000005000000
0797１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 05:32:52ゲームは１回ごとに勝つと持ち点に1点追加され、負けると(m-1)点持ち点から引かれる。
ゲームに引き分けは無いものとする。
ポニャ君の開始時の持ち点は0点であり、(mn+1)回ゲームを行った後持ち点は1点であった。
ポニャ君は開始時を除き、ゲーム途中持ち点が0点以下になることはなかったという。
但し、mは1以上の整数、nは0以上の整数とする。
(1)ポニャ君は何勝何敗だったか。
(2)ポニャ君の1回目から(mn+1)回目までの勝敗のパターンは何通り考えられるか。
0798１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 10:41:21サッカーボール（普通の正六角形と正五角形で形成）の体積 V を求めよ。
0799１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 10:47:490800１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 10:52:070801１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 11:10:36Circumference = 2pi(r), where r is the radius
69 = 2pi(r) (divide both sides by 2pi)
69/(2pi) = r
10.98 = r
Volume of sphere = (4/3)pi(r^3)
V = (4/3)pi(10.98^3)
V = 5,544.92 <===
Surface area of sphere = 4pi(r^2)
SA = 4pi(10.98^2)
SA = 1,515.01 <===
0802１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 11:15:320804１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 21:16:230805１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 22:14:23hiwai-heavy-industrialを違反通報してみてくれ
0806１３２人目の素数さん
2010/07/31(土) 22:34:432^x-2x ？
それなら自明解 x=2 を求めたら、y=2^x と y=2x のグラフを考えればおｋだろ。高校生だと、ここらは厳密に考えなくていいし。
0807１３２人目の素数さん
2010/08/01(日) 20:16:342^x＝x^2
は？
0808１３２人目の素数さん
2010/08/02(月) 00:42:40いや厳密じゃなくてもいいけど、高校レベルで解析的に回答に至れるかな？という質問なんです
0809１３２人目の素数さん
2010/08/02(月) 00:50:17実数全域で定義された連続（2回連続的微分可能としてもよい）な凹関数と直線の交点の数を調べてみたらいい。
高校の範囲でも分ることだろう。
x=1とx=2が 2^x=2x の解になっていることが直ちに分るから、あとは・・・。
0810１３２人目の素数さん
2010/08/02(月) 09:02:48(フィボナッチで試してみる。
1,1,2,3,5,
1,1,2,3→面積6→(3,4,5)の直角三角形 3=1*3, 4=2*(1*2), 5=1^2+2^2
1,2,3,5→面積30→(5,12,13)の直角三角形 5=1*5, 12=2*(2*3), 13=2^2+3^2に気付けということか。)
(A[n]*A[n+3])^2 + (2*A[n+1]*A[n+2])^2 = (A[n+1]^2 + A[n+2]^2)^2 を示す。
a=A[n], b=A[n+1], c=A[n+2], d=A[n+3] とおく。 d=b+c, c=a+b である。
左辺=(ad)^2 + ((b+c)^2-(b^2 + c^2))^2 = (ad)^2 + (d^2-(b^2+c^2))^2
= (ad)^2 + d^4 -2*d^2*(b^2+c^2) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2+d^2-2*(b^2+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2+(b+c)^2-2*(b^2+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2-(b^2-2*bc+c^2)) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a^2-(b-c)^2) + (b^2+c^2)^2
= d^2*(a+b-c)(a-b+c) + (b^2+c^2)^2
= (b^2+c^2)^2 = 右辺
よって示された。
0811１３２人目の素数さん
2010/08/02(月) 13:30:19aとdをbとcで表せばすぐだった。
a=c-b, d=c+b
左辺=(ad)^2 + (2bc)^2
=((c-b)(c+b))^2 + (2bc)^2
=(c^2-b^2)^2 + (2bc)^2
=(b^2 + c^2)^2
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