>>180
(i)になる確率 p[n]
(ii)になる確率 1-{p[n]+(2/5)^n}
(iii)になる確率 (2/5)^n

(n+1)回の操作で
(ii)→白のみになる確率 [1-{p[n]+(2/5)^n}](2/5)
(iii)→白のみになる確率 {(2/5)^n}(1/15)
したがって、(n+1)回の操作で白のみになる確率は、
[1-{p[n]+(2/5)^n}](2/5)+{(2/5)^n}(1/15)
=-(2/5)p[n]+(2/5){1-(2/5)^n}

となるのですが合っているでしょうか。