>>15
α^2,β^2は方程式②のかいであるから
α^6-α^4+kα^2-80=0･･･③
β^6-β^4+kβ^2-80=0･･･④
③+④より　(pq)^2-2q^3-q^2+80=0
③-④より　p^4-(4q+1)p^2+3q^2+2q+k=0
が得られる。
(α^2=-pα-q，β^2=-pβ-qなどを使って頑張って計算)

(3)
(pq)^2-2q^3-q^2+80=0より(2q-p^2+1)q^2=80
p,qは整数だから(q^2,2q-p^2+1)=(16,5),(4,20)
q=4のときp=±2
q=-4のときp^2=-12となり不適
q=2のときp^2=-15となり不適
q=-2のときp^2=-23となり不適
∴(p,q)=(2,4),(-2,4)
kはp^4-(4q+1)p^2+3q^2+2q+k=0にp,qを代入して求める