>>77
S(x) = S_0 + S_1 (x-x_0) + S_2 (x-x_0)^2 + …
というのがx_0におけるS(x)のテイラー展開
S_1 が微分係数 S'(x_0)

微積分学の基本定理は、S_2以後がどうなっていようと
考えている区間内の全ての点x_0でS_1さえ分かっていれば、S(x)が復元できるという事。
今、x - x_0 = dxと書けば

S(x) = S_0 + S_1 (dx) + S_2 (dx)^2 + …
だけれど、dxの一次の項だけ分かればS(x)が分かるということ。

y = √(r^2 -x^2)
dy = (y+dy) - y = {√(r^2 - (x+dx)^2)} - {√(r^2 - x^2)}
= - (2x dx+(dx)^2)/ ({√(r^2 - (x+dx)^2)} + {√(r^2 - x^2)} )
dxがとても小さいとすると
dy 〜 -(x / {√(r^2 - x^2)} ) dx
このくらいのもので、xの増分dxと yの増分dyは局所的には比例関係にある。

ここで体積の方だが x〜x+dxの区間で輪切りにした体積は、
半径y高さdxの円柱と、半径y+dy高さdxの円柱で評価できる。
π(y^2) dx < V(x) < π((y+dy)^2) dx = π(y^2)dx + 2πy dy dx + 〜
右辺も左辺もdxの一次項は同じ。dy dx 他は dxについて2次以上の項なので
一次近似としては無視できる。
つまりV(x)を計算するのには（円錐台の体積を計算してもいいが）
積分としては一次近似だけしか要らないので円柱の体積による近似で十分であるとわかる。