>>613
x(x^2-3y^2)=-√11　と　y(3x^2-y^2)=58　からxを消去すると
64y^9+2784y^6-50757y^3+195112=0
となって更にy^3=Aとおくと
64A^3+2784A^2-50757A+195112=0　…(2-1)
となる。ここで因数定理を使う。

50757は奇数で64も2784も195112も8の倍数なので
(2-1)が整数解を持つならその解は8の倍数。
そこでA=8を代入すると目出度く0になった。
だから(2-1)の左辺はA-8で割り切れて(2-1)は
(A-8)(64A^2+3296A-24389)=0　…(2-2)
となる。あとは64A^2+3296A-24389=0を解の公式で解く。

こんな感じですかね。正直Maximaを使ったんですけど。