正項級数Σa(n)(n=1,∞）が発散するとき、級数Σa(n)/(1+a(n))(n=1,∞）の収束発散を調べよ。
という問いに対して、以下のような解を考えました。間違いがあれば指摘してください。
解答
(1)a(n)→K　（n→∞,K>=0)のとき
極限の定義より-ε<a(n)-K<ε（n>=N,ε>0）が成り立つので
K-ε<a(n)<K+ε
したがって
a(n)/(1+K+ε)<a(n)/(1+a(n))<a(n)/(1+K-ε)
よって
(1+K+ε)^(-1)Σa(n)(n=N,∞）<Σa(n)/(1+a(n))(n=N,∞）<(1+K-ε)^(-1)Σa(n)(n=N,∞）
も成り立つ。
級数においては、有限個の項を取り除いても収束発散は変わらないのでΣa(n)(n=N,∞）は発散。
したがって追い出しの原理よりΣa(n)/(1+a(n))(n=N,∞）は発散し、有限のΣa(n)/(1+a(n))(n=1,N）
を加えても収束発散は変わらないからΣa(n)/(1+a(n))(n=1,∞）は発散する。
(2)a(n)→∞のとき
a(n)/(1+a(n))=1/((1/a(n))+1)→1　(n→∞)
より、同様に極限の定義から1-ε<a(n)/(1+a(n))<1+ε（n>=N)
よってΣ(1-ε) （n=N,∞）<Σa(n)/(1+a(n)) （n=N,∞）<Σ(1+ε) （n=N,∞）
を得るので、(1)と同様に考えてΣa(n)/(1+a(n)) （n=1,∞）は発散する。

いかがでしょう。表記法が間違っていたらすみません。
Σa(n) （n=1,∞）　は数列a(n)をn=1から無限まで足し合わせることを意味しています。