お忙しいところ恐れ入ります。
おたずね致します。
夏にテレビで以下のような問題が出されていました。

サイコロを６回振ったとき、何回目かにそれまで出た数の総和が
６になるような確率を求めなさい。

【答え】46656分の16807

私はなぜこの答えになるのかがわかりません。
私は以下のような計算をしました。

1回振った際に総和が6となるパターン：1パターン（目が6の時のみ）
2回振った際に総和が6となるパターン：5パターン（目の組み合わせが15、24、33、42、15の時）
3回振った際に総和が6となるパターン：7パターン（123、132、213、231、312、321、222）
4回振った際に総和が6となるパターン：10パターン（1113、1131、1311、3111、1122、1221、2211、2112、1212、2121）
5回振った際に総和が6となるパターン：5パターン（11112、11121、11211、12111、21111）
6回振った際に総和が6となるパターン：1パターン（111111のみ）

これを元にすると確率はそれぞれ、6分の1、36分の5、216分の7、1296分の10、7776分の5、46656分の1となります。
そしてこれらの分母を揃えて全て足すと46656分の16159となりました。

私の考え方はどの辺りがおかしいでしょうか。初心者のためよろしくお願い致します。