次に g が微分可能であることを示す。
任意の c ∈ V に対して d = g(c) とおく。
p = (c, d) とおく。
p ∈ V×W であるから、U(p, r) ⊂ V×W となる実数 r ＞ 0 が存在する。
ここで、U(p, r) = {x ∈ E×R; |x - p| ＜ r} である。

>>89より、
f(x, y) - f(c, d) = Σh_i(x, y)(x_i - c_i) + h_(n+1)(x, y)(y - d)
ここで、x = (x_1, ..., x_n), c = (c_1, ..., c_n) であり、
h_i(x, y), i = 1, ..., n+1 は U(p, r) で連続である。

y = g(x) のとき、
f(x, y) - f(c, d) = 0 - 0 = 0
よって、
Σh_i(x, g(x))(x_i - c_i) + h_(n+1)(x, g(x))(g(x) - g(c)) = 0
よって、
g(x) = g(c) - Σ(h_i(x, g(x))/h_(n+1)(x, g(x)))(x_i - c_i)

h_(n+1)(c, d) = ∂f/∂y(c, d) ≠ 0 である。
g は V で連続であるから (h_i(x, g(x))/h_(n+1)(x, g(x))) は c で連続である。

>>94より、g は c で微分可能で
∂g/∂x_i(c) = -(∂f/∂x_i)(c, g(c))/(∂f/∂y)(c, g(c))

c は V の任意の点であったから g は微分可能である。
さらに ∂g/∂x_i は連続であるから g は C^1 級である。
g が C^k 級(1 ≦ k ＜ r)であるとする。
∂g/∂x_i(x) = -(∂f/∂x_i)(x, g(x))/(∂f/∂y)(x, g(x)) において、
∂f/∂x_i は C^(r-1) 級であるから、∂g/∂x_i は C^k 級である。
よって、g は C^(k+1) 級である。
帰納的に g は C^r 級である。
証明終