f は連続であるから a ∈ V ⊂ V_1 となる開集合 V があり、
x ∈ V なら f(x, b - δ) ＜ 0 ＜ f(x, b + δ) となる。
V×W ⊂ (V_1)×W であるから V×W において ∂f/∂y ＞ 0 である。
よって、x ∈ V を固定したとき、f(x, y) は y の関数として W において
狭義単調増加である。
したがって中間値の定理より f(x, y) = 0 となる y ∈ (b - δ, b + δ) が
一意に定まる。
この y を g(x) と書くことにする。
g(a) = b であり、x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0 である。

x ∈ V を固定したとき、f(x, y) は y の関数として W において
狭義単調増加であるから、
(x, y) ∈ V×W かつ f(x, y) = 0 なら y = g(x) である。

次に g が連続なことを証明する。
任意の c ∈ V に対して d = g(c) とおく。
(c, d) ∈ V×W で f(c, d) = 0 である。
δ_1 ＞ 0 を十分小さくとれば、[d - δ_1, d + δ_1] ⊂ W となる
上の f(a, b - δ) ＜ 0 ＜ f(a, b + δ) と同様の理由により
f(c, d - δ_1) ＜ 0 ＜ f(c, d + δ_1) である。
任意の ε ＞ 0 に対して ε_1 = inf(ε, δ_1) とおく。
f(c, d - ε_1) ＜ 0 ＜ f(c, d + ε_1) である。
f は連続であるから c ∈ V_2 ⊂ V となる開集合 V_2 があり、
x ∈ V_2 なら f(x, d - ε_1) ＜ 0 ＜ f(x, d + ε_1) となる。
したがって中間値の定理より f(x, y) = 0 となる y ∈ (d - ε_1, d + ε_1) が
一意に定まる。
上で示したように y = g(x) である。
よって d - ε_1 ＜ g(x) ＜ d + ε_1
よって、 |g(x) - d| ＜ ε_1 ≦ ε
よって、g は c で連続である。
c は V の任意の点であるから g は V で連続である。
(続く)