命題
R を実数体とする。
E を R 上の有限次元のノルム空間とする。
E の基底を任意にとり、E を R^n と同一視する。
U ⊂ E×R を開集合とし、
f: U → R をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b) ≠ 0 とする。

このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、
1) g(a) = b
2) x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0
3) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 なら y = g(x)

証明
(d_2)f(a, b) は線型写像: R → R であるから、
(d_2)f(a, b)(1) = (∂f/∂y)(a, b) ≠ 0 である。

必要なら f を -f で置き換えることにより、
(∂f/∂y)(a, b) ＞ 0 と仮定してよい。
∂f/∂y は U で連続であるから、
(a, b) ∈ (V_1)×W ⊂ U となる a の開近傍 V_1 と b の開近傍 W が
存在し、(V_1)×W において ∂f/∂y ＞ 0 となる。
W は b を含む R の開区間とする。
δ ＞ 0 を十分小さくとれば、[b - δ, b + δ] ⊂ W となる
ψ(y) = f(a, y) とおく。
W において、dψ/dy ＞ 0 であるから ψ は W で狭義単調増加関数である。
よって、ψ(b - δ) ＜ ψ(b) ＜ ψ( b + δ)
即ち、f(a, b - δ) ＜ 0 ＜ f(a, b + δ)

(続く)