>>93の各 h_i: U → K は p のみで連続であればよい。即ち：

補題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし E = K^n とする。
E 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して E をノルム空間と見なす。
p を E の点とし、U をその開近傍とする。
f: U → K をC^1級写像とする。
h_i: U → K を p で連続な写像とし、
任意の x ∈ U に対して
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i)
とする。
ここで、x = (x_1, ..., x_n), p = (p_1, ..., p_n)

このとき、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
さらに f は p で微分可能である。

証明
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i) を変形して、
f(x) = f(p) + Σh_i(p)(x_i - p_i) + Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)

H(x) = sup {|h_i(x) - h_i(p)|; i = 1, ..., n } とおく。
|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| ≦ H(x)
である。

h_i(x) は p で連続だから x → p のとき H(x) → 0
よって、|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| → 0

よって、df(p)(x - p) = Σh_i(p)(x_i - p_i) である。
よって、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明終