補題
>>89において h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。

証明
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i) を変形して、
f(x) = f(p) + Σh_i(p)(x_i - p_i) + Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)

H(x) = sup {|h_i(x) - h_i(p)|; i = 1, ..., n } とおく。
|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| ≦ H(x)
である。

h_i(x) は連続だから x → p のとき H(x) → 0
よって、|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| → 0

よって、df(p)(x - p) = Σh_i(p)(x_i - p_i) である。
よって、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明終