補題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし E = K^n とする。
E 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して E をノルム空間と見なす。

E の点 p と実数 r ＞ 0 に対して U(p, r) = {x ∈ E; |x - p| ＜ r} とおく。
f: U(p, r) → K をC^1級写像とする。

このとき、連続写像 h_i: U(p, r) → K があり、
任意の x ∈ U(p, r) に対して
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i)
ここで、x = (x_1, ..., x_n), p = (p_1, ..., p_n)

証明
>>88より E はBanach空間である。
x ∈ U(p, r) を固定して ψ(t) = (1 - t)p + tx おく。
>>18より、
f(x) - f(p) = ∫[0, 1] (d(fψ)/dt) dt

合成関数の微分公式より、

d(fψ)/dt = Σ(∂f/∂x_i)((1 - t)p + tx )(x_i - p_i)

よって、
f(x) - f(p) = Σh_i(x)(x_i - p_i)
ここで、
h_i(x) = (∂f/∂x_i)((1 - t)p + tx ) dt) とおいた。

(続く)