>>30
>即ち、
>∂^2(hfψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(hfψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。
>
>K が実数体の場合は、これは微積分の教科書(例えば高木の解析概論)で
>良く知られている。

U を R^2 の開集合とし、f: R^2 → R を C^2級とする。

(a, b) ∈ U において ∂^2f/∂x∂y(a, b) ≠ ∂^2f/∂y∂x(a, b) とする。
必要なら f を -f で置き換えることにより、
∂^2f/∂x∂y(a, b) - ∂^2f/∂y∂x(a, b) ＞ 0 と仮定してよい。

g(x, y) = ∂^2f/∂x∂y - ∂^2f/∂y∂x とおく。

g は連続だから、δ ＞ 0 を十分小さくとり、
S = [a - δ, a + δ]×[b - δ, b + δ] とおいたとき、
S ⊂ U となり g|S ＞ 0 となる。

よって、
∬[S] g(x, y) dydy ＞ 0 となる。

他方、連続関数の積分の順序交換(過去スレ010の272)より、
∬[S] g(x, y) dydy = 0 である(簡単な計算)。

これは矛盾であるから ∂^2f/∂x∂y(a, b) = ∂^2f/∂y∂x(a, b) である。