補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のBanach空間とする。
L(E, F) の可逆元全体を GL(E, F) とする。
Ψ: GL(E, F) → GL(F, E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。

このとき、Ψ は C^∞級である。

証明
>>77より、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。

双線型写像 B: L(F, E)^2 → L(L(E, F), L(F, E)) を、
B(S_1, S_2)(T) = -(S_1)T(S_2) により定義する。

dΨ(S)(T) = B(Ψ(S), Ψ(S))(T) である。
即ち、
dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) である。

|B(S_1, S_2)(T)| = |(S_1)T(S_2)| ≦ |S_1||S_2||T|
よって、|B(S_1, S_2)| ≦ |S_1||S_2|
よって、B は連続である。

Ψ は微分可能だから連続である(過去スレ014の800)。
よって、dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) は連続である。
よって、Ψ はC^1級である。
Ψ がC^r級(r ≧ 1)と仮定する。
dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) とLeibnizの公式(過去スレ014の808)より、
dΨ はC^r級である。
よって、Ψ はC^(r+1)級である。
よって、r に関する帰納法より Ψ はC^∞級である。
証明終