補題(平均値の不等式)
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、
F を R 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
U を E の凸開集合とし、f: U → F を微分可能写像とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ U} ＜ +∞ とする。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。

このとき、任意の x, y ∈ U に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|

証明
t ∈ [0, 1] のとき ψ(t) = (1 - t)x + ty とおく。
U は凸だから、t ∈ [0, 1] のとき ψ(t) ∈ U である。

f は微分可能だから過去スレ014の800より連続である。
よって、g(t) = fψ(t) は [0, 1] で連続である。
合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、t ∈ (0, 1) のとき
dg(t) = df(ψ(t))dψ(t)
よって、
dg(t)(1) = df(ψ(t))(dψ(t)(1))
即ち
g’(t) = df(ψ(t))(ψ’(t))
よって、
|g’(t)| = |df(ψ(t))||ψ’(t)| ≦ M(y - x)

>>70より、
|g(1) - g(0)| ≦ |g’(c)| となる c ∈ (0, 1) がある。
よって、|g(1) - g(0)| ≦ M(y - x)
g(1) = f(y), g(0) = f(x) であるから
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明終