よって、Ψ: GL(E, F) → GL(F, E) を Ψ(S) = S^(-1) で定義すれば、
dh = Ψ(df)h

r に関する帰納法により h がC^r級であることを証明する。
>>52と同様に Ψ はC^∞級である。
h は微分可能だから過去スレ014の800より h は連続である。
仮定より f はC^r級(r ≧ 1)だから df は連続である。
よって、dh は連続である。
即ち、h はC^1級である。

h が C^k級 (1 ≦ k ＜ r)であると仮定する。
f は C^r級だから df は C^(r-1)級である。
よって、dh = Ψ(df)h はC^k級である。
よって、h はC^(k+1)級である。
証明終