y_1, y ∈ f(V) に対して x_1 = h(y_1), x = h(y) とおく。

>>64より、
|g_(y)(x_1) - g_(y)(x)| ≦ (1/2)|x_1 - x|

よって、
|x_1 - x - T^(-1)(y_1 - y))| ≦ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|x_1 - x| - |T^(-1)(y_1 - y))| ≦ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|T^(-1)(y_1 - y)| ≧ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y|

一方、
|h(y_1) - h(y) - df(x)^(-1)(y_1 - y)|
= |x_1 - x - df(x)^(-1)(f(x_1) - f(x))|
= |df(x)^(-1)(df(x)(x_1 - x) - f(x_1) + f(x))|

|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y| より、

|h(y_1) - h(y) - df(x)^(-1)(y_1 - y)|/|y_1 - y|
≦ 2|T^(-1)||df(x)^(-1)||df(x)(x_1 - x) - f(x_1) + f(x))|/|x_1 - x|

|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y| より、
y_1 → y のとき x_1 → x
よって上の不等式の右辺 → 0
よって、左辺 → 0
よって、dh(y) = df(x)^(-1)

(続く)