定理(逆写像定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F の線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^r級(r ≧ 1)とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。

このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
さらに、f|V の逆写像 h はC^r級である。
さらに、x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。

証明
>>64の記号をそのまま使う。
>>64より、f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。

>>64より、x ∈ V なら |df(x) - T| ＜ λ = 1/(2|T^(-1)|) である。
よって、
|T^(-1)(T - df(x))| ≦ |T^(-1)||T - df(x)| ＜ 1/2
>>43より、I - T^(-1)(T - df(x)) ∈ GL(E) である。

df(x) = T(I - T^(-1)(T - df(x))) であるから df(x) ∈ GL(E, F) である。
即ち、df(x)^(-1) が存在して |df(x)^(-1)| ＜ +∞ である。

(続く)