g_y(x_1) = x_1 かつ g_y(x_2) = x_2 とすると、
|x_1 - x_2| ≦ (1/2)|x_1 - x_2| となり x_1 = x_2 でなければならない。
即ち、g_y は V において不動点を高々１個しか持たない。
即ち、y = f(x) となる x ∈ V は高々１個である。
よって、f は V 上で単射である。
f(V) が開集合であることを示せばよい。

y_0 ∈ f(V) を任意に選ぶ。
y_0 = f(x_0) となる x_0 ∈ V がある。
B(x_0; δ) ⊂ V となるように δ ＞ 0 を選ぶ。
U(y_0; λδ) ⊂ f(V) を示そう。

y ∈ U(y_0; λδ) を任意に選ぶ。

|g_y(x_0) - x_0| = |T^(-1)(y - y_0))| ≦ |T^(-1)||y - y_0)| ＜ δ/2

x ∈ B(x_0; δ) のとき、
|g_y(x) - x_0| ≦ |g_y(x) - g_y(x_0)| + |g_y(x_0) - x_0|
＜ (1/2)|x - x_0| + δ/2 ≦ δ

よって、g_y(B(x_0; δ)) ⊂ B(x_0; δ)
B(x_0; δ) はBanach空間の閉集合であるから完備である。
よって、縮小写像の不動点定理(>>41)より、g_y は B(x_0; δ) において
不動点 x をもつ。
この x に対して y = f(x) となる。
よって、y ∈ f(B(x_0; δ)) ⊂ f(V)
よって、U(y_0; λδ) ⊂ f(V) である。
よって、f(V) は開集合である。
証明終