補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F への線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^1級とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。

このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。

証明
T = df(p) とおく。
T^(-1) が存在し連続であるから |T^(-1)| ＜ +∞ である。
T^(-1) ≠ 0 であるから |T^(-1)| ≠ 0 である。
λ = 1/(2|T^(-1)|) とおく。

f はC^1級であるから df は p で連続である。
よって、p を中心とする開球 V ⊂ U があり
x ∈ V なら |df(x) - T| ＜ λ となる。

y ∈ F に対して g_y(x) = x + T^(-1)(y - f(x)) とおく。
g_y(x) = x と y = f(x) は同値であることに注意する。

d(g_y)(x) = I - T^(-1)df(x) = T^(-1)(T - df(x))

よって、x ∈ V なら、
|d(g_y)(x)| = |T^(-1)(T - df(x))| ≦ |T^(-1)||T - df(x)| ＜ 1/2

平均値の不等式(>>62)より、
x_1, x_2 ∈ V のとき、|g_y(x_1) - g_y(x_2)| ≦ (1/2)|x_1 - x_2|

(続く)