命題(>>550の改良)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
I を R の開区間とし、U を E の開集合とする。
f: I×U → E を次の条件 (C) を満たす連続写像とする。

(C) I×U の各点 (t, x) で (d_2)f(t, x) が存在し、I×U 上で連続である。
ここで、(d_2)f(t, x) は x に関する偏微分である(過去スレ014の833)。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。

x_0 の近傍 V ⊂ U と t_0 を含む開区間 J ⊂ I が与えられ、
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) g(t_0, x) = x
c) 任意の x ∈ V に対して写像 t → g(t, x) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t)) の I における解である。

このとき、J×V の各点 (t, x) で (d_2)g(t, x) が存在し、
(d_2)g(t, x) は J×V 上で連続である。

証明
まず証明のアイデアを述べる。
μ ∈ V を任意にとり定数とみなし、y を新しい変数として、x = y + μ とおく。
微分方程式 dx/dt = f(t, x) より
パラメータ付き微分方程式 dy/dt = f(t, y + μ) が得られる。
初期条件 x(t_0) = μ は、初期条件 y(t_0) = 0 となる。
以上のアイデアをもとにして厳密に証明しよう。

(続く)