>>46を少し変える。

補題(平均値の不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の凸開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ U} ＜ +∞ とする。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。

このとき、任意の x, y ∈ U に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|

証明
>>45と同じである。