命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間する。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。
I を実数体 R の開区間とする。
f: I×U×V → E を C^k 級(1 ≦ k ≦ ∞)の写像とする。

(t_0, x_0) を I×U の任意の点とする。
J を t_0 を含む開区間で J ⊂ I とする。
g: J×V → E を次の条件を満たす連続写像とする。

a) g(J×V) ⊂ U
b) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0
c) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の J における解である。

このとき、g は J×V 上で C^k 級である。

証明
k ＜ ∞ として本命題を証明すれば k = ∞ のときも本命題は成り立つ。
よって k ＜ ∞ として、k に関する帰納法で証明する。
まず k = 1 とする。
>>597より、J×V の各点 (t, μ) で (d_2)g(t, μ) が存在し、
任意の μ ∈ V に対して t → (d_2)g(t, μ) は
次の微分方程式の解 Ψ(t): J → L(F, E) である。

dΨ/dt = (d_2)f(t, g(t, μ), μ)Ψ(t) + (d_3)f(t, g(t, μ), μ)

さらに任意の μ ∈ V に対して (d_2)g(t_0, μ) = 0 である。
よって、>>616より (d_2)g(t, μ) は J×V 上で連続である。
即ち、g(t, μ) は J×V 上で μ に関して C^1 級である。
(続く)