命題(線型常微分方程式の解のパラメータに関する連続性)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
V を F の開集合とする。
a(t, μ): I×V → L(E, E) と b(t, μ): I×V → L(F, E) を連続写像とする。

t_0 を I の任意の点とし、T_0 を L(F, E) の任意の元とする。
このとき連続写像 g: I×V → L(F, E) で次の条件をみたすものが一意に存在する。

a) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = T_0
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dψ/dt = a(t, μ)ψ(t) + b(t, μ) の I における解である。

証明
μ ∈ V を固定する。
t → a(t, μ) および t → b(t, μ) は共に I で連続である。
(t, T) ∈ I×L(F, E) に対して
f(t, T) = a(t, μ)T + b(t, μ) とおく。
f(t, T): I×L(F, E) → L(F, E) は連続である。

任意の t ∈ I と任意の T, S ∈ L(F, E) に対して
|f(t, T) - f(t, S)| ≦ |a(t, μ)||T - S|

よって、>>483より、微分方程式 dψ/dt = a(t, μ)ψ(t) + b(t, μ) の解 g(t, μ) で
g(t_0, μ) = T_0 となり定義域が I となるものが一意に存在する。

a(t, μ) は I×V 上で連続であるから局所的に有界である。
よって、(t, T, μ) → a(t, μ)T + b(t, μ) は>>613の条件 (*L) を満たす。
よって、>>613より、g: I×V → L(F, E) は連続である。
証明終