>>613の続き

さて、(t_1, ν_1) を I×V の任意の点とする。
(*LL) より、ν_1 の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

t → g(t, ν_1) は微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の I における解であるから、
I 上で連続である。
よって、(t, μ) → f(t, g(t, ν_1), μ) は [r_1, r_2]×(V_1) 上で連続である。
よって、>>535より、任意の ε ＞ 0 に対して V(ν_1, δ) ⊂ V_1 となる
δ ＞ 0 があり、μ ∈ V(ν_1, δ) なら任意の t ∈ [r_1, r_2] に対して
|f(t, g(t, ν_1), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)| ＜ ε となる。
ここで、V(ν_1, δ) = {μ ∈ F; |μ - ν_1| ＜ δ} である。

よって、任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×V(ν_1, δ) に対して
|f(t, g(t, μ), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)|
≦ |f(t, g(t, μ), μ) - f(t, g(t, ν_1), μ)|
+ |f(t, g(t, ν_1), μ) - f(t, g(t, ν_1), ν_1)|
≦ M| g(t, μ) - g(t, ν_1)| + ε ← (1)

一方、任意の (t, μ) ∈ (r_1, r_2)×V(ν_1, δ) に対して

∫[t_0, t] (dg/ds)(s, μ) ds = g(t, μ) - g(t_0, μ) = g(t, μ) - x_0
∫[t_0, t] (dg/ds)(s, ν_1) ds = g(t, ν_1) - g(t_0, ν_1) = g(t, ν_1) - x_0

よって、
g(t, μ) - g(t, ν_1) = ∫[t_0, t] ((dg/ds)(s, μ) - (dg/ds)(s, ν_1)) ds
= ∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν_1), ν_1)) ds

(続く)