補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とし、F を K 上のノルム空間とする。
I を R の開区間とする。
U を E の開集合とし、V を F の開集合とする。

f(t, x, μ): I×U×V → E を連続写像として次の条件 (*L) を満たすとする。

(*L) 任意の (t_1, ν_1) ∈ I×V に対して t_1 の開近傍 I_1 ⊂ I と
の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ (I_1)×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

(t_0, x_0) を I×U の点とし、g: I×V → U を次の条件を満たす写像とする。

a) 任意の μ ∈ V に対して g(t_0, μ) = x_0 となる。
b) 任意の μ ∈ V に対して写像 t → g(t, μ) は
微分方程式 dx/dt = f(t, x(t), μ) の I における解で、

このとき、g は I×V 上で連続である。

証明
(t_1, ν_1) を I×V の任意の点とする。
t_0, t_1 ∈ I であるから r_1 ＜ t_0, t_1 ＜ r_2 かつ [r_1, r_2] ⊂ I となる
有限閉区間 [r_1, r_2] がある。
[r_1, r_2] はコンパクトであるから条件 (*L) より次の条件 (**L) が得られる。

(**L) 任意の ν_1 ∈ V に対して ν_1 の開近傍 V_1 ⊂ V と定数 M ＞ 0 があり、
任意の (t, μ) ∈ [r_1, r_2]×(V_1) と任意の x, y ∈ U に対して
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| ≦ M|x - y| となる。

(続く)