>>609の証明

任意の μ ∈ V に対して (t, x) → f(t, x, μ) は>>499の条件を満たす。
>>499の証明より>>499の区間 J は μ に無関係に定まる。
よって、写像 g: J×V → E で本命題の a), b), c) を満たすものが一意に存在する。
g が連続であることを証明すれば>>597より d) が出る。

任意の t ∈ J と任意の μ, ν ∈ V に対して

∫[t_0, t] dg/ds(s, μ) ds
= g(t, μ) - g(t_0, μ)
= g(t, μ) - x_0

同様に
∫[t_0, t] dg/ds(s, ν) ds = g(t, ν) - x_0

よって、
g(t, μ) - g(t, ν)
= ∫[t_0, t] (dg/ds(s, μ) - dg/ds(s, ν)) ds
= ∫[t_0, t] (f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), ν)) ds

よって、(1), (2) より
|g(t, μ) - g(t, ν)|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), ν)| ds|
≦ |∫[t_0, t] |f(s, g(s, μ), μ) - f(s, g(s, ν), μ)|
+ |f(s, g(s, ν), μ) - f(s, g(s, μ), ν)| ds|
≦ |∫[t_0, t] (A|g(s, μ) - g(s, ν)| + B|μ - ν|) ds|

(続く)