>>608の証明

(d_2)f(t, x, μ) 及び (d_3)f(t, x, μ) は (t_0, x_0, μ_0) で連続であるから
t_0 を含む開区間 I, x_0 の凸開近傍 U, μ_0 の凸開近傍 V があり、
(d_2)f(t, x, μ) 及び (d_3)f(t, x, μ) は I×U×V で有界となる。
よって、A ＞ 0, B ＞ 0 があり I×U×V の各点 (t, x, μ) で
|(d_2)f(t, x, μ)| ≦ A
|(d_3)f(t, x, μ)| ≦ B
となる。

U は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の (t, μ) ∈ I×V と
任意の x, y ∈ U に対して、
φ(s) = f(t, x + s(y - x), μ) が定義出来る。

dφ/ds = (d_2)f(t, x + s(y - x), μ)(y - x)

よって、任意の (t, μ) ∈ I×V と任意の x, y ∈ U に対して、
|f(t, x, μ) - f(t, y, μ)| = |∫[0, 1] (d_2)f(t, x + s(y - x), μ)(y - x) ds|
≦ ∫[0, 1] |(d_2)f(t, x + s(y - x), μ)||y - x| ds
≦ A|y - x| ← (1)

V は凸だから任意の s ∈ [0, 1] 及び任意の (t, x) ∈ I×U と
任意の μ, ν ∈ V に対して
ψ(s) = f(t, x, μ + s(ν - μ)) が定義出来る。
dψ/ds = (d_3)f(t, x, μ + s(ν - μ))(ν - μ)

よって、任意の (t, x) ∈ I×U と任意の μ, ν ∈ V に対して
|f(t, x, μ) - f(t, x, ν)|
= |∫[0, 1] (d_3)f(t, x, μ + s(ν - μ))(ν - μ) ds|
≦ B|ν - μ| ← (2)

(続く)